Chiarimento teorico sul concetto di Base
PREAMBOLO
Come da titolo mi ritrovo a studiare la definizione di base di uno spazio vettoriale e trovo
"Una base è un sistema di vettori generatori linearmente indipendente"
Ok che cos'è un sistema di generatori? Lo so e quindi dico
"Un sistema di vettori genera uno spazio vettoriale A solo se l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori coincide proprio con A, in altri termini per ogni vettore $vec a$ che appartiene ad A posso rappresentarlo come combinazione lineare di tutti i vettori di A con i rispettivi scalari di R"
Ok ma che cosa significa linearmente indipendente?
"Un sistema di vettori si dice linearmente indipendente solo se il vettore nullo può essere espresso come combinazione lineare di quelli in un sol modo, in altre parole la combinazione lineare che mi da il vettore nullo deve avere tutti gli scalari uguali a 0"
Fin qui le cose andavano alla grande fino a quando non consulto wikipedia
"In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente."
DOMANDA
E qui casca l'asino ( che sono io ) perchè la definizione di base mi sembra contraddittoria, insomma abbiamo detto che un insieme di vettori si dice generatori se ogni vettore dell'insieme può essere espresso come combinazione lineare degli altri, ma abbiamo detto anche che un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessuno di questi può essere espresso come combinazione lineare degli altri!
Per cui a me sembra che un sistema di vettori può essere o linearmente indipendente o generatori ma non tutte e due le cose insieme perchè essere generatori sembra essere il contrario della indipendeza lineare!
O posso esprimere ogni vettore come combinazione lineare degli altri oppure non posso!
A questo punto non riesco ad accettare la definizione di base vettoriale perchè mi sembra un assurdo...
I casi ora sono 3:
1) Wikipedia ha sbagliato (poco probabile)
2)Il professore ha sbagliato (impossibile)
3)La mia testa di capra non mi permette di arrivare a sciogliere la questione (Molto probabile)
Aspetto vostre risposte e scusate lo sproloquio ma dovevo spiegarmi il meglio che potevo
Come da titolo mi ritrovo a studiare la definizione di base di uno spazio vettoriale e trovo
"Una base è un sistema di vettori generatori linearmente indipendente"
Ok che cos'è un sistema di generatori? Lo so e quindi dico
"Un sistema di vettori genera uno spazio vettoriale A solo se l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori coincide proprio con A, in altri termini per ogni vettore $vec a$ che appartiene ad A posso rappresentarlo come combinazione lineare di tutti i vettori di A con i rispettivi scalari di R"
Ok ma che cosa significa linearmente indipendente?
"Un sistema di vettori si dice linearmente indipendente solo se il vettore nullo può essere espresso come combinazione lineare di quelli in un sol modo, in altre parole la combinazione lineare che mi da il vettore nullo deve avere tutti gli scalari uguali a 0"
Fin qui le cose andavano alla grande fino a quando non consulto wikipedia
"In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente."
DOMANDA
E qui casca l'asino ( che sono io ) perchè la definizione di base mi sembra contraddittoria, insomma abbiamo detto che un insieme di vettori si dice generatori se ogni vettore dell'insieme può essere espresso come combinazione lineare degli altri, ma abbiamo detto anche che un insieme di vettori è linearmente indipendente se nessuno di questi può essere espresso come combinazione lineare degli altri!
Per cui a me sembra che un sistema di vettori può essere o linearmente indipendente o generatori ma non tutte e due le cose insieme perchè essere generatori sembra essere il contrario della indipendeza lineare!
O posso esprimere ogni vettore come combinazione lineare degli altri oppure non posso!
A questo punto non riesco ad accettare la definizione di base vettoriale perchè mi sembra un assurdo...
I casi ora sono 3:
1) Wikipedia ha sbagliato (poco probabile)
2)Il professore ha sbagliato (impossibile)
3)La mia testa di capra non mi permette di arrivare a sciogliere la questione (Molto probabile)
Aspetto vostre risposte e scusate lo sproloquio ma dovevo spiegarmi il meglio che potevo
Risposte
Vediamo se ho capito qualcosa..allora quello che ho omesso nella definizione e negli appunti è il fatto che un insieme di vettori è linearmente indipendente solo se nessuno dei vettori dell'insieme può essere espresso come combinazione lineare di tutti gli altri vettori appartenenti all'insieme che abbiamo preso.
Questo non va in constrasto con la definizione di generatori perchè essa impone che tutti i vettori dello SPAZIO siano esprimibili come combinazione lineare dei vettori che appartengono all'insieme dei generatori, tuttavia non è detto che un vettore che appartiene all'insieme dei generatori debba essere generato dagli stessi generatori, l'importante è che i generatori generino i vettori dello spazio ma non è necessario che generino se stessi.
A volte possono generare anche se stessi ma non è detto.
A questo punto una base dovrebbe essere un insieme di generatori di uno spazio vettoriale che generano tutti i vettori dello spazio ma tra di loro non si generano a vicenda giusto?
Ok ma il fatto che l'insieme dei vettori generatori potrebbe non generare se stesso non va in contrasto col fatto che l'insieme dei generatori devi coincidere con lo spazio vettoriale?
Insomma un insieme di vettori si dce generatori solo se l'insieme delle combinazioni lineari di questi vettori coincide con lo spazio di partenza..questo a quanto ho capito però non significa che tutti i vettori che stanno nell'insieme di generatori stanno pure nello spazio vettoriale, al contrario ci possono stare vettori che appartengono all'insieme dei generatori ma non allo spazio vettoriale :S
?
Questo non va in constrasto con la definizione di generatori perchè essa impone che tutti i vettori dello SPAZIO siano esprimibili come combinazione lineare dei vettori che appartengono all'insieme dei generatori, tuttavia non è detto che un vettore che appartiene all'insieme dei generatori debba essere generato dagli stessi generatori, l'importante è che i generatori generino i vettori dello spazio ma non è necessario che generino se stessi.
A volte possono generare anche se stessi ma non è detto.
A questo punto una base dovrebbe essere un insieme di generatori di uno spazio vettoriale che generano tutti i vettori dello spazio ma tra di loro non si generano a vicenda giusto?
Ok ma il fatto che l'insieme dei vettori generatori potrebbe non generare se stesso non va in contrasto col fatto che l'insieme dei generatori devi coincidere con lo spazio vettoriale?
Insomma un insieme di vettori si dce generatori solo se l'insieme delle combinazioni lineari di questi vettori coincide con lo spazio di partenza..questo a quanto ho capito però non significa che tutti i vettori che stanno nell'insieme di generatori stanno pure nello spazio vettoriale, al contrario ci possono stare vettori che appartengono all'insieme dei generatori ma non allo spazio vettoriale :S
?
Uno spazio vettoriale per quanto ne so è un insieme non vuoto in cui mettiamo due operazioni: un'addizione interna e un prodotto esterno, che soddisfa per l'operazione di addizione le proprietà di gruppo abeliano più altri quattro assiomi che sono la distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione interna, la distributività del prodotto di un vettore dello spazio rispetto alla somma di due reali, la proprietà associativa per il prodotto di reali e vettori e infine il prodotto dell'unità per un elemento dell'insieme è uguale ancora a quell'elemento dell'insieme per esempio $vec a$
Cos'è che non ho capito dello spazio vettoriale? :S pensavo almeno questo di averlo capito un po'.. e sopratutto che cosa c'entra coi generatori di spazio che non generano se stessi?
Con l'insieme dei generatori intendevo l'insieme delle combinazioni lineari dell'insieme di generatori, l'insieme delle combinazioni lineari dei generatori deve coincidere con lo spazio vettoriale per definzione..almeno così tengo scritto negli appunti...
Cos'è che non ho capito dello spazio vettoriale? :S pensavo almeno questo di averlo capito un po'.. e sopratutto che cosa c'entra coi generatori di spazio che non generano se stessi?
Con l'insieme dei generatori intendevo l'insieme delle combinazioni lineari dell'insieme di generatori, l'insieme delle combinazioni lineari dei generatori deve coincidere con lo spazio vettoriale per definzione..almeno così tengo scritto negli appunti...
Sergio 
Come da te consigliato in precedenza ho studiato tutto il pdf algebra lineare for dummies fino alle applicazioni lineari (escluse) e ha confermato quello che pensavo di aver capito sullo spazio vettoriale chiarendo alcune cose sul concetto di base, coordinate e indipendenza lineare ( sopratutto a che servono !
) Diciamo che ce le hanno spiegate badando molto all'aspetto formale senza farci capire che cosa realmente sono..
Detto ciò ho capito che l'insieme dei vettori generatori genera tutti i vettori dello spazio vettoriale, per cui ogni vettore di tale spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori che fanno parte dell'insieme dei generatori..
Se i vettori che fanno parte dell'insieme dei generatori sono pure tra di loro linearmente indipendenti, cioè nessun vettore dell'insieme dei generatori può essere espresso come combinazione lineare degli stesi vettori che fanno proprio parte dell'insieme dei generatori, tale sistema di vettori è detto UNA base dello spazio vettoriale
Siccome la base genera tutti i vettori dello spazio vettoriale allora ogni vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base, i coefficienti di tale combinazione lineare si dicono coordinate del vettore rispetto a tale base.
Detto ciò alla fine di tutta la storia azzardo a dire che l'insieme dei vettori generatori, se non è una base, è linearmente Dipendente, cioè può esserci almeno un vettore dell'insieme dei generatori che dipende linearmente dagli altri vettori dell'insieme dei generatori, in questo caso è lo stesso un sistema di vettori generatori ma non è una base..
Su quest'ultimo punto specialmente( che poi è il dubbio iniziale condensato dopo aver capito) aspetto con ansia smentite..
Mi scuso se sono ripetitivo ma ci tengo veramente molto a capire l'algebra lineare ..
Come da te consigliato in precedenza ho studiato tutto il pdf algebra lineare for dummies fino alle applicazioni lineari (escluse) e ha confermato quello che pensavo di aver capito sullo spazio vettoriale chiarendo alcune cose sul concetto di base, coordinate e indipendenza lineare ( sopratutto a che servono !
) Diciamo che ce le hanno spiegate badando molto all'aspetto formale senza farci capire che cosa realmente sono..Detto ciò ho capito che l'insieme dei vettori generatori genera tutti i vettori dello spazio vettoriale, per cui ogni vettore di tale spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori che fanno parte dell'insieme dei generatori..
Se i vettori che fanno parte dell'insieme dei generatori sono pure tra di loro linearmente indipendenti, cioè nessun vettore dell'insieme dei generatori può essere espresso come combinazione lineare degli stesi vettori che fanno proprio parte dell'insieme dei generatori, tale sistema di vettori è detto UNA base dello spazio vettoriale
Siccome la base genera tutti i vettori dello spazio vettoriale allora ogni vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base, i coefficienti di tale combinazione lineare si dicono coordinate del vettore rispetto a tale base.
Detto ciò alla fine di tutta la storia azzardo a dire che l'insieme dei vettori generatori, se non è una base, è linearmente Dipendente, cioè può esserci almeno un vettore dell'insieme dei generatori che dipende linearmente dagli altri vettori dell'insieme dei generatori, in questo caso è lo stesso un sistema di vettori generatori ma non è una base..
Su quest'ultimo punto specialmente( che poi è il dubbio iniziale condensato dopo aver capito) aspetto con ansia smentite..
Mi scuso se sono ripetitivo ma ci tengo veramente molto a capire l'algebra lineare ..
Grazie infinite Sergio 
Per la pazienza, finalmente credo di aver capito qualcosa su basi e generatori! Ho letto il messaggio di risposta solo ora
Molto utile anche quel pdf "Algebra lineare for dummies" , di solito facciamo un mucchio di teoremi e dimostrazioni ma a volte così si perde di vista la cosa più semplice, cioè il motivo per cui hai bisogno di dimostrarlo e a che cos'è banalmente XD
Per la pazienza, finalmente credo di aver capito qualcosa su basi e generatori! Ho letto il messaggio di risposta solo ora
Molto utile anche quel pdf "Algebra lineare for dummies" , di solito facciamo un mucchio di teoremi e dimostrazioni ma a volte così si perde di vista la cosa più semplice, cioè il motivo per cui hai bisogno di dimostrarlo e a che cos'è banalmente XD
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo