Allineamento punti
Ciao, amici! Sto eseguendo degli esercizi* che propongono di determinare per quali valori di un parametro una terna di punti di \(\mathbf{A}^3(\mathbb{R})\) è allineata.
Direi che, scelto tra i tre punti -che chiamo per esempio \(A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)\)- un punto a caso, diciamo $C$, bisogna verificare quando \(\overrightarrow{CA}\) e \(\overrightarrow{CB}\) siano linearmente dipendenti, nel qual caso direi che \(A,B,C\) sarebbero allineati, condizione che mi sembra equivalere alla dipendenza lineare delle coordinate dei due vettori in questione \(\overrightarrow{CA}(a_1-c_1,a_2-c_2,a_3-c_3)\) e \(\overrightarrow{CB}(b_1-c_1,b_2-c_2,b_3-c_3)\), dipendenza che mi pare verificata, ad esempio, se e solo se tutti i minori della matrice \(\begin{pmatrix}a_1-c_1&a_2-c_2&a_3-c_3\\b_1-c_1&b_2-c_2&b_3-c_3\end{pmatrix}\) sono nulli. Spero di venire corretto se ho detto stupidate.
L'esercizio che non riesco a risolvere riguarda i punti \((2,-1,2),(1,1,1),(2,-m+1,4)\), dato che mi sembra impossibile che, per qualunque scelta di $m$, possano essere dipendenti le terne delle coordinate \((1,-2,1)\) e \((1,-m,3)\) (dove ho sottratto $(1,1,1)$ alle altre due terne)...
Che cosa ne pensate? Dove sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!!!
*es. 2 a p. 131 di Sernesi, Geometria I, Bollati Boringhieri 2000.
Direi che, scelto tra i tre punti -che chiamo per esempio \(A(a_1,a_2,a_3),B(b_1,b_2,b_3),C(c_1,c_2,c_3)\)- un punto a caso, diciamo $C$, bisogna verificare quando \(\overrightarrow{CA}\) e \(\overrightarrow{CB}\) siano linearmente dipendenti, nel qual caso direi che \(A,B,C\) sarebbero allineati, condizione che mi sembra equivalere alla dipendenza lineare delle coordinate dei due vettori in questione \(\overrightarrow{CA}(a_1-c_1,a_2-c_2,a_3-c_3)\) e \(\overrightarrow{CB}(b_1-c_1,b_2-c_2,b_3-c_3)\), dipendenza che mi pare verificata, ad esempio, se e solo se tutti i minori della matrice \(\begin{pmatrix}a_1-c_1&a_2-c_2&a_3-c_3\\b_1-c_1&b_2-c_2&b_3-c_3\end{pmatrix}\) sono nulli. Spero di venire corretto se ho detto stupidate.
L'esercizio che non riesco a risolvere riguarda i punti \((2,-1,2),(1,1,1),(2,-m+1,4)\), dato che mi sembra impossibile che, per qualunque scelta di $m$, possano essere dipendenti le terne delle coordinate \((1,-2,1)\) e \((1,-m,3)\) (dove ho sottratto $(1,1,1)$ alle altre due terne)...
Che cosa ne pensate? Dove sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!!!
*es. 2 a p. 131 di Sernesi, Geometria I, Bollati Boringhieri 2000.
Risposte
Ciao Davide,
il titolo dell'esercizio chiede il valore di m "se esiste", per cui potrebbe essere giusto che siano sempre indipendenti.
Anche a me risultano indipendenti qualunque m:
Affinché i 3 vettori siano dipendenti dovrebbe essere nullo il determinante della matrice
A = $ ( ( 2 , -m+1 , 4 ),( 2 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ ,
det A = 0 solo se det $ ( ( 2 , -m+1 , 4 ),( 0 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ = 0 (A' ottenuta mediante operazioni sulle righe).
Sviluppando il determinante secondo la seconda riga ottengo: det A' = 3 det$ ( ( 2 , 4 ),( 1 , 1 ))$
che in effetti non contiene il parametro m ed è diverso da zero.
A questo proposito, volevo chiedere una cosa anch'io ma aspetto un momento, perché se vuol rispondere qualcun altro ci incrociamo con le domande.
il titolo dell'esercizio chiede il valore di m "se esiste", per cui potrebbe essere giusto che siano sempre indipendenti.
Anche a me risultano indipendenti qualunque m:
Affinché i 3 vettori siano dipendenti dovrebbe essere nullo il determinante della matrice
A = $ ( ( 2 , -m+1 , 4 ),( 2 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ ,
det A = 0 solo se det $ ( ( 2 , -m+1 , 4 ),( 0 , -3 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ = 0 (A' ottenuta mediante operazioni sulle righe).
Sviluppando il determinante secondo la seconda riga ottengo: det A' = 3 det$ ( ( 2 , 4 ),( 1 , 1 ))$
che in effetti non contiene il parametro m ed è diverso da zero.
A questo proposito, volevo chiedere una cosa anch'io ma aspetto un momento, perché se vuol rispondere qualcun altro ci incrociamo con le domande.
"jitter":
il titolo dell'esercizio chiede il valore di m "se esiste"
Sì, ma la soluzione data dal libro è $m=2$, assumendo che non sia un errore di stampa, di cui non è comunque privo neanche il migliore dei libri...
"jitter":
Affinché i 3 vettori siano dipendenti dovrebbe essere nullo il determinante della matrice
A = $ ( ( 2 , -m+1 , 4 ),( 2 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
Scusa se qua mi perdo, ma non mi è chiaro il perché...
Ho pensato così: tre punti $A,B,C$ sono allineati per definizione se (e solo se) \(\dim(\overline{ABC})\leq 1\) cioè -direi- se e solo se, scelti (arbitrariamente, per la proprietà enunciata nell'esempio 3 del paragrafo 7.5 a p. 96) \(\overrightarrow{CA}\) e \(\overrightarrow{CB}\) sono linearmente dipendenti, che accade se e solo se -mi pare, per la proprietà al punto 3 del paragrafo 4.15, in alto a p. 62 - le coordinate \((a_1-c_1,a_2-c_2,a_3-c_3)\) e \((b_1-c_1,b_2-c_2,b_3-c_3)\) di questi due vettori sono n-uple linearmente dipendenti come vettori di \(\mathbb{K}^n\) (qui \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e $n=3$), cosa che mi pare succeda se e solo le matrice che ha per righe o colonne queste coordinate \((a_1-c_1,a_2-c_2,a_3-c_3)\) e \((b_1-c_1,b_2-c_2,b_3-c_3)\) ha rango 1 (o 0 se due punti coincidessero, ma non è il caso dell'esercizio), cosa che a sua volta succede se e solo se tutti i minori di ordine 2 sono nulli. Do i numeri?
Grazie di cuore ancora!!!
Scusami Davide, ho sbagliato tutto! Più che altro ti faccio perdere tempo. Se non ti fa niente, riprendo la cosa così capisco anch'io...
Probabilmente ho confuso la complanarità con l'allineamento. Rifaccio...
Probabilmente ho confuso la complanarità con l'allineamento. Rifaccio...
Non ti preoccupare per nulla 
: ogni aiuto è ben accetto, anche se fosse sbagliato!
: ogni aiuto è ben accetto, anche se fosse sbagliato!
Grazie davvero! Allora partecipo volentieri.
Stavo leggendo il tuo ultimo post.
Se non ri-sbaglio, al posto delle coordinate $(a_1−c_1,a_2−c_2,a_3−c_3) e (b_1−c_1,b_2−c_2,b_3−c_3)$, potremmo usare semplicemente le 3 coordinate dei punti dati, ovvero studiare la dipendenza lineare dei vettori OA, OB, OC.
Quindi la matrice che ha, per esempio, per colonne i 3 vettori deve avere rango 1: ma $(1, 1, 1)$ e $(2, -1, 2)$ non sono dipendenti... non capisco come mai....
Stavo leggendo il tuo ultimo post.
Se non ri-sbaglio, al posto delle coordinate $(a_1−c_1,a_2−c_2,a_3−c_3) e (b_1−c_1,b_2−c_2,b_3−c_3)$, potremmo usare semplicemente le 3 coordinate dei punti dati, ovvero studiare la dipendenza lineare dei vettori OA, OB, OC.
Quindi la matrice che ha, per esempio, per colonne i 3 vettori deve avere rango 1: ma $(1, 1, 1)$ e $(2, -1, 2)$ non sono dipendenti... non capisco come mai....
"DavideGenova":
CA−→ e CB−→ sono linearmente dipendenti se e solo se le coordinate (a1−c1,a2−c2,a3−c3) e (b1−c1,b2−c2,b3−c3) di questi due vettori sono n-uple linearmente dipendenti
(
"DavideGenova":
mi sembra impossibile che, per qualunque scelta di m, possano essere dipendenti le terne delle coordinate (1,−2,1) e (1,−m,3) (dove ho sottratto (1,1,1) alle altre due terne)...
Così come avevi fatto tu era anche meglio...
Ora però taccio davvero... aspettiamo lumi
Mmh... sono come sai "alle prime armi" con l'algebra lineare, ma, se non dico scemenze, se per esempio prendi in $RR^3$ i tre vettori \(\overrightarrow{OA}=(1,0,0),\overrightarrow{OB}=(0,1,0)\) e \(\overrightarrow{OC}=(1,1,0)\) hanno nullo il determinante della matrice delle coordinate secondo la base standard, ma non direi che sono allineati (per trovarli ho disegnato proprio i primi tre punti che mi sono venuti in mente su un foglio)... se non sbaglio...
Sono d'accordo. Infatti, non andava considerato il determinante (come ho detto nel primo post, sbagliando) ma il rango, che deve essere posto uguale a 1 affinché i punti siano allineati. Giusto?
Ma un modo più semplice potrebbe essere prendere i vettori OA, OB, OC e vedere se sono a due a due multipli... come mi pare avessi fatto tu all'inizio:
E' così?
Ma un modo più semplice potrebbe essere prendere i vettori OA, OB, OC e vedere se sono a due a due multipli... come mi pare avessi fatto tu all'inizio:
"jitter":
mi sembra impossibile che, per qualunque scelta di m, possano essere dipendenti le terne delle coordinate (1,−2,1) e (1,−m,3) (dove ho sottratto (1,1,1) alle altre due terne)...
E' così?
Adesso le prendo... Ho scritto una cosa allucinante: sui vettori OA, OB, OC, sbagliata. Dammi pure una punizione, tipo in ginocchio sui ceci, ma non compiti di castigo sulle matrici 
Siano $ P(2, -1, 2) $, $ Q(1,1,1) $ ed $ R(2, -m+1, 4) $ i tre punti.
I punti sono allineati se
\[ P \vec Q \in \mathcal{L}(P \vec R) \]
Le componenti di \( P \vec Q \) sono \( \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -1} \), mentre quelle di \( P \vec R \) sono \( \pmatrix{0 \\ 2-m \\ 2} \)
La matrice che ha per colonne tali vettori colonna ha rango $ 2 $ per ogni $ m $ e quindi i punti non sono mai allineati.
I punti sono allineati se
\[ P \vec Q \in \mathcal{L}(P \vec R) \]
Le componenti di \( P \vec Q \) sono \( \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -1} \), mentre quelle di \( P \vec R \) sono \( \pmatrix{0 \\ 2-m \\ 2} \)
La matrice che ha per colonne tali vettori colonna ha rango $ 2 $ per ogni $ m $ e quindi i punti non sono mai allineati.
Grazie di cuore a tutti e due!!!
Che direi equivalga al metodo che ho usato, prendendo però \(\overrightarrow{QP}\) e \(\overrightarrow{QR}\)... Quindi, Riccardo, secondo te il libro contiene un refuso nella soluzione.
Come hai notato dopo, no, ma ho verificato la proporzionalità tra \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\) e \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\) (per utilizzare i nomi dei vettori che avevo usato all'inizio).
Grazie a tutti di nuovo!!!!
"Riccardo Desimini":
I punti sono allineati se
\[ P \vec Q \in \mathcal{L}(P \vec R) \]
Le componenti di \( P \vec Q \) sono \( \pmatrix{-1 \\ 2 \\ -1} \), mentre quelle di \( P \vec R \) sono \( \pmatrix{0 \\ 2-m \\ 2} \)
La matrice che ha per colonne tali vettori colonna ha rango $ 2 $ per ogni $ m $ e quindi i punti non sono mai allineati.
Che direi equivalga al metodo che ho usato, prendendo però \(\overrightarrow{QP}\) e \(\overrightarrow{QR}\)... Quindi, Riccardo, secondo te il libro contiene un refuso nella soluzione.
"jitter":
Ma un modo più semplice potrebbe essere prendere i vettori OA, OB, OC e vedere se sono a due a due multipli... come mi pare avessi fatto tu all'inizio
Come hai notato dopo, no, ma ho verificato la proporzionalità tra \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\) e \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\) (per utilizzare i nomi dei vettori che avevo usato all'inizio).
Grazie a tutti di nuovo!!!!
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