Piani di un fascio

[DavideGenova1]

Ciao, amici, sono di nuovo qua con un esercizio del Sernesi -5 a p. 132- la cui soluzione non coincide con quella che trovo io...
Devo verificare se i tre piani di \(\mathbf{A}^3(\mathbb R)\) equazioni cartesiane
$X-Y+Z=0," "-X+3Y-5Z+2=0," "Y-2Z+1=0$
appartengono ad uno stesso fascio o no. Lo farei controllando se l'intersezione dei tre piani è una retta, risolvendo il sistema
\[\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&3&-5\\0&1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-2\\-1\end{pmatrix}\]
che mi sembra avere per soluzione \((X,Y,Z)=(-1,-1,0)+t(1,2,1)\), che è una retta. Invece il libro dice che non appartengono ad un fascio.
D'altra parte vedo che la soluzione dell'esercizio 5 dice che i tre piani $X-Y+Z+5=0$, $2X-2Y+2Z+77=0$ e $-X+Y-Z=0$, dai cui coefficienti si vede immediatamente che sono paralleli e non coincidenti, appartengono ad un fascio (tout court, mentre mi sembra chiaro che appartengono ad un fascio improprio)...
Che cosa ne dite?
Grazie di cuore a tutti!!!

[Quinzio]

Direi che le tue soluzioni sono corrette.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie, Quinzio!!! Spero di non trovare altri refusi nelle soluzioni di questi esercizi...