Esercizio di esame.

[James_Arkham]

Questo è il mio primo post (dopo quello doveroso delle presentazioni) e lo sfrutto subito per vedere se il tempo che ho passato sui libri mi ha permesso di risolvere bene a questo esercizio che come ho scritto in titolo mi è capitato all'esame.
Traccia:
In uno spazio euclideo tridimensionale $E$, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto $p(1,0,-1)$, e le rette:


$r_1:\{(2x+y+1=0),(3y+z=0):}$


$r_2:\{(x-y=0),(x+y+z+2=0):}$

Si stabilisca la posizione relativa di $p$, $r_1$ e $r_2$.
Determinare una rappresentazione parametrica e una cartesiana della retta $s$ tale che $p in s$, e $s$ sia complanare sia con $r_1$ che con $r_2$.

Svolgimento:
Ve lo presento "per sommi capi", diciamo che scriverò solo il procedimento, scrivendo solo le mie conclusioni (perché è in queste ultime che ho dei dubbi).

a)Si stabilisca la posizione relativa di $p$, $r_1$ e $r_2$.

In primo luogo "mi sono chiesto" se $p$ appartenesse a $ r_1 $ o a $r_2$.

$\{(3=0),(-1=0):}$

$p notin r_1$

$\{(1=0),(2=0):}$

$p notin r_2$

Quindi mi sono ricavato le rappresentazioni parametriche di $r_1$ e di $r_2$
$r_1:\{(x=-1/2-t/2),(y=t),(z=-3t):}$ $AA t in RR$

$r_2:\{(x=t),(y=t),(z=-2-2t):}$ $AA t in RR$

E al fine di determinare le loro posizioni relative ho richiesto, per la condizione di parallelismo, che i loro vettori direzione fossero proporzionali, ovvero che $v(-1/2,1,-3) prop w(1,1,-2)$. Le rette quindi non sono parallele.
Metto a sistema le loro rappresentazioni cartesiane, per vedere se $r_1 nn r_2 != 0$ (passatemi questa affermazione poiché non so come scrivere "vuoto").
$\{(x=y),(y=2),(y=-1/3),(z=-3y):}$

Quindi $r_1$ e $r_2$ sono sghembe.

b)Determinare una rappresentazione parametrica e una cartesiana della retta $s$ tale che $p in s$, e $s$ sia complanare sia con $r_1$ che con $r_2$.

$A(-1/2,0,0)$
Punto ottenuto a partire dalla rappresentazione parametrica di $r_1$ imponendo il parametro $t$ uguale a $0$.
$B(0,0,-2)$
Punto ottenuto a partire dalla rappresentazione parametrica di $r_2$ imponendo il parametro $t$ uguale a $0$.
$w(-1/2,0,-2)$
Vettore direttore ottenuto (credo, non è che mi ricordi esattamente) tramite la formula della distanza.
Essendo $s$ passante per $p$, e dovendo essere complanare con $r_1$ e $r_2$, la sua rappresentazione parametrica (presto fatta) è:
$s:\{(x=1-t/2),(y=0),(z=-1-2t):}$ $AA t in RR$

Di cui la rappresentazione cartesiana è:
$s:\{(4x-z-5=0),(y=0):}$


Spero di non essere stato troppo inintellegibile o incasinato nel mio modo confusionario, se non proprio caotico, di scrivere .
Se non vi è chiaro qualcosa chiedete pure .

[Quinzio]

Come fa $s$ ad essere complanare a due rette sghembe ?
Non puo', altrimenti le due rette sarebbero almeno incidenti.
Ti torna ?

[vittorino70]

La retta s esiste ed è l'intersezione tra il piano \(\displaystyle \alpha \) individuato dal punto dato P e dalla retta
\(\displaystyle r_1 \) col piano \(\displaystyle \beta \) individuato da P e dalla retta \(\displaystyle r_2 \)

[Quinzio]

Giusto ....

[James_Arkham]

il fatto che le due rette fossero sghembe è il motivo per il quale non lo consegnai. Gli ultimi calcoli (quelli per determinare) dovrebbero aver ragione di esistere se si prende in considerazione il piano contenente il vettore $w$.
Considerandolo un "sovrappiano", o per meglio dire un piano a cui appartengano i punto $p$, $A$ e $B$, e quindi un piano arbitrario di equazione del tipo:
$gamma: \{(x=x_p + x_v t + x_w s),(y=y_p + y_v t + y_w=s),(z=z_p + z=v t + z_w s):}$

Avrei potuto completare almeno questo esercizio (o almeno credo)