Spazio Quoziente

[Noisemaker]

Buon pomeriggi, posto un problema, e vorrei sapere se è corretto ...


Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e $W$ un sottospazio di $V.$ Si dice che due
vettori $v_1$ e $v_2$ in $V$ sono equivalenti rispetto a $W$, $v_1 \sim v_2$ (fissato $W$), se
\begin{align*}v_1 - v_2 \in W.\end{align*}

1)Dimostrare che questo definisce una relazione di equivalenza su $V .$

2) Se $[v] = \{u \in V : u \sim v\}$ denota la classe di equivalenza di $v,$ dimostrare che
\begin{align*}[v] = v +W \quad\text{dove}\quad v +W = \{v + w : w \in W\}.\end{align*}

3) Si denota con $V \setminus W = \{[v] : v \in V \}$ l'insieme delle classi di equivalenza. Si definisce
una somma e una molteplicazione scalare in $V \setminus W$ nel seguente modo:
\begin{align*}{ 1)}\quad &[v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2] \\
{ 2)}\quad&\lambda[v] = [\lambda v]:
\end{align*}
Dimostrare che questa somma e molteplicazione scalare in $V\setminus W$ sono ben definite, ovvero non dipendono dalle scelte dei rappresentanti delle classi di equivalenza.

4) Dimostrare che $V\setminus W$ con questa somma e molteplicazione scalare è uno spazio
vettoriale su $\mathbb{K}$ (che si chiama lo spazio quoziente $V$ mod $W,$ oppure $V$ su $W$).

[size=150] Soluzione[/size]

[size=150]1)[/size]

Verifichiamo le tre proprietà che definiscono una relazione di equivalenza, cioè la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva:
[-] Riflessiva: $v_1 \sim v_1\in W;$ per dfinizione abbiamo che
\begin{align*}
v_1 \sim v_1\quad\Rightarrow\quad v_1 - v_1={\bf{0_v}}\in W
\end{align*}
infatti per ipotesi $W$ è sottospazio vettoriale di $V$ ed in quanto tale certamente contiene il vettore nullo;
[-] Simmetrica : $v_1 \sim v_2\in W\Rightarrow v_2 \sim v_1\in W;$ Usando la definizione, dobbiamo dimostrare che:
\begin{align*}
v_1 - v_2\in W\Rightarrow v_2 -v_1\in W
\end{align*}
Allora, essendo $(v_1 - v_2)$ elemento del sottospazio vettoriale $W,$ che quindi per definizione risulta chiuso rispetto all'operazione di somma tra due qualsiasi dei suoi elementi e stabile rispetto al prodotto per ogni scalare $\lambda\in \mathbb{K},$ in particolare avremo che tale proprietà deve valere per $\lambda=-1,$ e dunque
\begin{align*}(v_1 - v_2)\in W\Rightarrow \lambda(v_1 -v_2)\in W, \,\,\,\mbox{in particolare,}\,\,\, -(v_1 -v_2)\in W \to v_2-v_1\in W
\end{align*}
\item[-] Transitiva : $v_1 \sim v_2\in W,v_2 \sim v_3\in W\Rightarrow v_1 \sim v_3\in W;$ usando la definizione, dobbiamo dimostrare che:
\begin{align*}
v_1 - v_2\in W, v_2 - v_3 \in W\Rightarrow v_1 -v_3\in W
\end{align*}
Sommando i primi due elementi, cosa che possiamo fare in quanto sia $v_1 - v_2\in W$ sia $v_2 - v_3\in W,$ otteniamo:
\begin{align*}(v_1 - v_2)+(v_2 - v_3)\in W \Rightarrow (v_1 - v_3)\in W \end{align*}

Verificando le tre proprietà la relazione $\sim$ risulta essere di equivalenza.
[size=150] 2)[/size]
Abbiamo che:
\begin{align*}
[v] = \{u \in V : u \sim v\}&= \{u \in V : u-v\in W\}\\
&\mbox{posto}\,\,\, u-v=w\in W \to u=v+w\in v+W\\
&=\{v+w\in V : (v+w)-v\in W\}\\
&=\{v+w\in V : w \in W\}
\end{align*}
e dunque
\begin{align*}[v] = \{u \in V : u \sim v\} =\{v+w\in V : w \in W\}=v+W\end{align*}

[size=150]3)[/size]
Dimostriamo la prima, cioè:
\begin{align*}[v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2],\quad\mbox{o equivalentemente che}\quad (v_1+W) + (v_2+W) = (v_1 + v_2)+W\end{align*}
indipendentemente dalla scelta dei vettori rappresentanti le classi di equivalenza; per ogni vettore $w_1,w_2$ abbiamo che
\begin{align*}w_1\in [v_1]\Rightarrow [v_1]&=[w_1]\Rightarrow w_1-v_1 \in W\\
w_2\in [v_2]\Rightarrow [v_2]&=[w_2]\Rightarrow w_2-v_2 \in W
\end{align*}
Poichè $W$ è sottospazio vettoriale, possiamo sommare due suoi elementi ed ottenere ancora un elemento del sottospazio, dunque:
\begin{align*}(w_1-v_1) +(w_2-v_2)&=(w_1+w_2)-(v_1+v_2) \in W\Rightarrow(w_1+w_2)\sim(v_1+v_2)\\
&=[v_1 + v_2]=[w_1 + w_2]= (v_1+v_2)+W=(w_1+w_2)+W
\end{align*}
dimostriamo ora la seconda:
\begin{align*}\lambda[v] = [\lambda v] \end{align*}
abbiamo che:
\begin{align*}\lambda[v] =\lambda(u\sim v)=\lambda(u-v)=\lambda u-\lambda v=\lambda u\sim\lambda v =[\lambda v]
\end{align*}

[size=150]4) [/size]

Dimostriamo che $V\setminus W$ con le seguenti somma e moltiplicazione per uno scalare è uno spazio
vettoriale su $\mathbb{K}:$
\begin{align*}
{\bf 1)}\quad &[v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2] \\
{\bf 2)}\quad&\lambda[v] = [\lambda v]:
\end{align*}
Allora:

$ SV_1: [v_1] + [v_2] = [v_1] + [v_2].$ Allora abbiamo
\begin{align*}
[v_1] + [v_2] \stackrel{\bf(1)}{=}[v_1 + v_2] =[v_2 + v_1] \stackrel{\bf(1)}{=}[v_2] + [v_1]
\end{align*}

$ SV_2 : ([v_1] + [v_2] )+[v_3]=[v_1]+([v_2] + [v_3] ).$ Allora abbiamo che
\begin{align*}
([v_1] + [v_2] )+[v_3]&\stackrel{\bf(1)}{=}([v_1+v_2] )+[v_3]\stackrel{\bf(1)}{=}[(v_1+v_2 )+v_3]=[ v_1+(v_2 +v_3)]\stackrel{\bf(1)}{=}[v_1]+([v_2] + [v_3] )
\end{align*}

$SV_3: [v_1]+[0_v]= [v_1].$ Allora si ha
\begin{align*}
[v_1]+[{\bf{0_v}}]\stackrel{\bf(1)}{=}[v_1 + {\bf{0_v}}]= [v_1 ]
\end{align*}

$ SV_4: \exists (-[v_1])\in V\setminus W$ tale che: $[v_1]+(-[v_1])= [0_v]$ Allora
\begin{align*}
[v_1]+(-[v_1])\stackrel{\bf(1)}{=}[v_1+(-v_1)]=[v_1-v_1)]= [{\bf{0_v}}]
\end{align*}

$ SV_5: (\lambda\cdot\mu)\cdot [v_1]=\lambda\cdot(\mu\cdot [v_1]) ,\quad\forall\,\,\lambda,\mu\in\mathbb{K}.$ Allora si ha:
\begin{align*}
(\lambda\cdot\mu)\cdot [v_1] \stackrel{\bf(2)}{=} [(\lambda\cdot\mu)\cdot v_1 )] =[\lambda( \mu v_1 )] \stackrel{\bf(2)}{=} \lambda[( \mu v_1 )] \stackrel{\bf(2)}{=} \lambda( \mu [v_1 ])
\end{align*}

$ SV_6: (\lambda +\mu)\cdot[v_1 ]=\lambda\cdot [v_1 ]+\mu\cdot [v_1 ] ,\quad\forall\,\,\lambda,\mu\in\mathbb{K}.$ Allora si ha
\begin{align*}
(\lambda +\mu)[v_1 ]&\stackrel{\bf(2)}{=}[(\lambda +\mu)v_1]=[(\lambda v_1 +\mu v_1)]\stackrel{\bf(1)}{=}[ \lambda v_1]+ [\mu v_1 ]\stackrel{\bf(2)}{=} \lambda [v_1]+ \mu[ v_1 ]
\end{align*}

$ SV_7: \lambda\cdot([v_1] +[v_2]) =\lambda\cdot [v_1]+\lambda\cdot [v_2] ,\quad\forall\,\,\lambda\in\mathbb{K}.$ Allora si ha
\begin{align*}
\lambda\cdot([v_1] +[v_2])&\stackrel{\bf(1)}{=}\lambda\cdot [v_1 +v_2] \stackrel{\bf(2)}{=}[\lambda(v_1 +v_2)]=[\lambda v_1 +\lambda v_2]\stackrel{\bf(1)}{=}[\lambda v_1] +[\lambda v_2)]\stackrel{\bf(2)}{=}\lambda [v_1] +\lambda [v_2]
\end{align*}

$ SV_8: 1\cdot [v_1] =[v_1],\quad 1\in\mathbb{K}.$ Allora si ha:
\begin{align*}
1\cdot [v_1] &\stackrel{\bf(2)}{=}[1\cdot v_1]=[v_1]
\end{align*}

le $8$ prpriet\'a che definiscono uno spazio vettoriale sono verificate e quindi $V\setminus W$ è uno spazio
vettoriale su $\mathbb{K}.$

[ciampax]

Bravo!

Non solo per la chiarezza, ma anche perché scrivere tuta sta roba in Latex è una cosa davvero ardua.

[Noisemaker]

ti ringrazio molto! ...
l'importante era la chiarezza ...anche se onestamente lo spazio quoziente devo ancora afferrarlo bbper bene!!!!

[ciampax]

Se ne vuoi una interpretazione geometrica, pensa a $V=RR^3$ e ai due casi seguenti:

1) $W$ il piano $xOy$
2) $W$ coincidente con uno dei tre assi.

Credo che dovresti riuscire a visualizzare cosa $V/W$ rappresenti nei due casi.

[Noisemaker]

be ... forse nel primo caso $W\setminus V$ rappresenta un piano parallelo al piano $x0y$ e nel secodo caso il piano che contiene l'asse ...

[ciampax]

1) Sono tutti i piani paralleli a $W$: ogni singola classe ne rappresenta uno.
2) Se $W$ è l'asse $z$, allora ogni singola classe rappresenta una retta ad esso parallela.

[Noisemaker]

giusto giusto ... sono classi di equivalenza, quindi insiemi, gli elementi dello spazio quoziente!!!


grazie!