Esercizio di verifica gruppo abeliano
Ciao a tutti sto provando a risolvere questo esercizio:
Nell'insieme $RR$-(1) si consideri la seguente operazione:
$(a)*(b)$=$((a-1)*(b-1))/(2)$+1
e si provi che essa defi nisce un gruppo abeliano.
Per risolvere l'esercizio ho cominciato a dimostrare che l'operazione è commutativa:
[$((a-1)*(b-1))/(2)$+1]+[$((a^{\prime}-1)*(b^{\prime}-1))/(2)$+1]=0 giungendo alla forma $a*(b-1) + a^{\prime} *(b^{\prime}-1)-b-b^{\prime} +6=0$
Il chè evidenzia che effettivamente l'equazione ha senso se e solo b sia diverso dai 1. E' quindi valida per $RR$-(1)
Nel passaggio per determinare l'elemento neutro della moltiplicazione, ossia 1, mi sono bloccato in quanto stiamo considerando $RR$-(1)!
Qualcuno può aiutarmi?
Nell'insieme $RR$-(1) si consideri la seguente operazione:
$(a)*(b)$=$((a-1)*(b-1))/(2)$+1
e si provi che essa defi nisce un gruppo abeliano.
Per risolvere l'esercizio ho cominciato a dimostrare che l'operazione è commutativa:
[$((a-1)*(b-1))/(2)$+1]+[$((a^{\prime}-1)*(b^{\prime}-1))/(2)$+1]=0 giungendo alla forma $a*(b-1) + a^{\prime} *(b^{\prime}-1)-b-b^{\prime} +6=0$
Il chè evidenzia che effettivamente l'equazione ha senso se e solo b sia diverso dai 1. E' quindi valida per $RR$-(1)
Nel passaggio per determinare l'elemento neutro della moltiplicazione, ossia 1, mi sono bloccato in quanto stiamo considerando $RR$-(1)!
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Quello che hai scritto tu non serve per provare la commutatività.
L'operazione è commutativa se \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R}\setminus \{1\} \) vale \(\displaystyle a * b = b*a\)
E questo è vero: \(\displaystyle \frac{(a-1)(b-1)}{2}+1= \frac{(b-1)(a-1)}{2}+1 \)
Per quanto riguarda l'elemento neutro, devi trovare \(\displaystyle u \in \mathbb{R}\setminus \{1\} \) tale che \(\displaystyle a*u =u*a=a \quad \forall a \in \mathbb{R}\setminus \{1\}\).
L'operazione è commutativa se \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R}\setminus \{1\} \) vale \(\displaystyle a * b = b*a\)
E questo è vero: \(\displaystyle \frac{(a-1)(b-1)}{2}+1= \frac{(b-1)(a-1)}{2}+1 \)
Per quanto riguarda l'elemento neutro, devi trovare \(\displaystyle u \in \mathbb{R}\setminus \{1\} \) tale che \(\displaystyle a*u =u*a=a \quad \forall a \in \mathbb{R}\setminus \{1\}\).
Gi8 ti ringrazio in primis per aver risposto al mio quesito. Voglio porti una domanda. Ho eseguito l'esercizio aiutandomi con uno simile svolto in aula. Per la commutativa abbiamo operato in quel modo. Alla luce di quello che tu dici, quello che ho scritto ha una valenza?
"Ing20":Stai cercando $a,b,a',b' in RR\\{1}$ tali che \(\displaystyle a*b +a'*b'=0\). Non riesco a capire a cosa possa servire.
$[((a-1)*(b-1))/(2)+1]+[((a^{\prime}-1)*(b^{\prime}-1))/(2)+1]=0$
Tra l'altro l'elemento neutro non è $0$ (dovrebbe essere $3$).
Io mi riferivo alla notazione per la commutativa. Comunque per l'elemento neutro ho operato in questo modo:
$(a)*(e)$=$((a-1)*(e-1))/(2)$+1=a Sviluppando il tutto sono arrivato alla forma e=$(3a-3)/(a-1)$
E' corretto?
$(a)*(e)$=$((a-1)*(e-1))/(2)$+1=a Sviluppando il tutto sono arrivato alla forma e=$(3a-3)/(a-1)$
E' corretto?
Sì, è corretto. Puoi concludere che $e=3$ poichè $a!=1$
Bene, il simmetrico dovrebbe essere invece $a^{\prime}$=$(3+a)/(a-1)$
Giusto?
Giusto?
Giusto. Ora rimane da verificae l'associativa
Ho risolto così:
$(a*b)*c$=$[(a-1)*(b-1)]/(2) *(c-1)+2$ mentre
$a*(b*c)$=$[(b-1)*(c-1)]/(2) *(a-1)+2$
$(a*b)*c$=$[(a-1)*(b-1)]/(2) *(c-1)+2$ mentre
$a*(b*c)$=$[(b-1)*(c-1)]/(2) *(a-1)+2$
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