Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Nelle dispense che sto studiando leggo:
PIANO IPERBOLICO. Si tratta dell'usuale \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) con la forma di matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) (non degenere); vi sono due sottospazi indipendenti di dimensione \(\displaystyle 1 \) di vettori isotropi (dunque ciascuno ortogonale di se stesso, ma non ortogonali tra loro): si tratta dei vettori che soddisfano \(\displaystyle XY = 0 \); dato un vettore \(\displaystyle ...
Dev'essere un dubbio sciocco ai limiti del triviale, ma non sono convinto/contento della risposta che mi sono dato e non riesco a prendere sonno, quindi tanto vale sottoporlo (probabilmente domattina mi sparerò). Esplico il mio dubbio nel caso di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) senza che ne vada persa la sostanza. Considero i soliti vettori della base canonica \(\displaystyle e_{1}, \ e_{2}, \ e_{3} \) dopodiché scelgo \[\displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} ...
Stamattina avevo in mente di trovare il rango di una bella matrice 5x4
Siccome con Kronecker non ero sicuro sul da farsi ho pensato di trovarlo prima con Gauss, riducendeo la matrice data in una matrice a scalini e contando il numero delle righe (o colonne) non nulle, nel mio caso c'erano solo 3 righe non nulla per cui ho stabilito che il rango della matrice era 3..
A questo punto leggo sugli appunti e sul libro che con Kronecker si fa prima, cioè è un metodo veloce per trovare il rango di ...
Ciao, amici! Un passaggio che ho trovato nel mio libro di geometria mi ha causato qualche confusione circa la definizione di restrizione di un'applicazione lineare...
Definiti \(F_B\), \(q\) e \(\mathbf{W}_q\) (cioè \(\mathbf{W}_m\) con \(m=q\)) come qui il Sernesi (Geometria I, pp. 178-179) dimostra che la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è un isomorfismo osservando che
\[\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}=F_B(\mathbf{W}_q)\]
e concludendo che "quindi la restrizione di ...
Non riesco a giustificare un passaggio di una dimostrazione.
Queste sono le mie definizioni:
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato ([tex]g[/tex] forma bilineare simmetrica non degenere), un isomorfismo [tex]\phi[/tex] è isometria se rispetta la forma
[tex]\forall v, w \in V, g(\phi(v),\phi(w))=g(v,w)[/tex], ovvero se [tex]\forall v \in V, g(\phi(v),\phi(v))=g(v,v)[/tex]
Devo dimostrare questo teorema (estensione delle isometrie):
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato, [tex]W[/tex] sottospazio ...
Ciao, sono nuovo del forum, mi potreste spiegare questo esercizio:
TROVARE LA BASE DELLO SPAZIO DELLE SOLUZIONI DEL SISTEMA OMOGENEO:
x-2y+3z-t=0
2x+z+4t=0
Io ho trovato che la dimensione è 2 in R^4 ed il sistema ha infinito alla due soluzioni, adesso come faccio a trovare i vettori che formano la base?
Mi potrestI spiegare i singoli passaggi? Grazie mille
Ciao, devo calcolare il rango di una matrice in $ZZ_5$. Non ho capito però se quando trovo un determinante diverso da 0 devo prima convertirlo in $ZZ_5$ per capire se vale 0 o meno.
Un esempio dato che non sono stato chiaro.
$A=((1,3,3,1),(0,4,1,3),(1,2,4,4)) in M_3,_5(ZZ_5)$
Considerando la prime 3 colonne ho come determinante 5 (potrei dire rango 3), però credo che andrebbe convertito in $ZZ_5$ così da valere 0 e quindi la matrice non dovrebbe avere rango 3.
Stessa cosa per le ultime 3 ...
Dunque ho questo esercizio in un esempio di esame.
Considerata l'applicazione lineare F: R5 -> R4 tale che:
F (1 0 0 0 0 ) = (1 2 0 2)
F (1 0 0 0 0 ) = (1 2 0 2)
F (1 0 0 0 0 ) = (1 2 0 2)
F (1 0 0 0 0 ) = (1 2 0 2)
F (1 0 0 0 0 ) = (1 2 0 2)
a) Trovare una base per Ker(La) e Im(La)
b) Considerato il sottospazio E generato dai vettori:
v1 (1 1 2 1 -1) v2 (-2 1 1 -2 1), v3 (3 0 1 3 0), v4 (-1 2 3 -1 -2)
si trovi una base per il sottospazio F(E) di R4.
Ho pensato di risolverlo in ...
Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, ed un numero infinito di sottospazi $(W_i)_(iinI)$ di $V$, dire se esiste un sottospazio di $V$ che contiene tutti i $W_i$ ($iinI$). Esiste il piu piccolo sottospazio di $V$ fra quelli che
contengono tutti i $Wi$ ($iinI$)? Se esiste, darne una descrizione esplicita.
Esercizio del sernesi.
Sia $A in M_n(K)$. Dimostrare che $A+A^T$ (con $A^T$ indico la matrice trasposta) è simmetrica e che $A-A^T$ è antisimmetrica. Provare che $A$ può essere espressa come somma di matrice simmetrica per una antisimmetrica.
Ho provato al risolverlo al seguente modo :
Sia $A in M_n(K)$ provo che $A+A^T$ è simmetrica. Cioè devo provare che $(A+A^T)^T=A+A^T$.
Ma ciò è abbastanza ovvio.
Facendo uso del seguente ...
Ciao, amici! Trovo scritto* che, esprimendo i funzionali lineari su $RR^3$ come polinomi omogenei in $X_1,X_2,X_3$ a coefficienti reali, la base di \((\mathbb{R}^3)ˇ\) duale della base ${(1,-1,0),(0,1,1),(1,0,2)}$ di $RR^3$ è ${2X_1+X_2-X_3,2X_1+2X_2-X_3,-X_1-X_2+X_3}$. Vorrei chiedere una conferma su come ho interpretato io il significato di tutto ciò...
Una base ${\eta_1,\eta_2,\eta_3}$ duale di \(\mathbb{R}^3=\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \rangle\) deve essere tale che ...
Salve a tutti; avrei la seguente domanda: Avendo una base $B={vec(i),vec(j),vec(k)}$ di $V_O^3$; quali sono le condizioni affinché 3 vettori applicati in O formino una base anch'essi in $V_O^3$?. Grazie a tutti
Salve a tutti,
dalla pagina di wikipedia (e da molti testi più seri):
"l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente."
Bene, subito dopo viene data una definizione più precisa dove si introduce il concetto di campo. Ok, bello, sono d'accordo. La mia domanda è: cosa significa trovare ...
Salve a tutti, non mi è ben chiaro un concetto base delle equazioni e dei sistemi lineari.
Come si effettua la scelta della variabile dipendente della variabile indipendente ?
Ad esempio:
$2x - y = 1$
Come si sceglie quale tra le due incognite è la variabile indipendente, quale è la dipendente ?
Ciao a tutti, ho un problema con questa tipologia di esercizi, in pratica non ho capito come impostarli.
Ad esempio:
Nello spazio vettoriale reale $RR^5$ si consideri l'insieme di vettori $W={(a,b,c,d,e) in RR^5 : a+c = b+d = e}$
Si dimostri che W è un sottospazio di $RR^5$.
Ora per dimostrare che è un sottospazio devo verificare che:
1) Il vettore nullo $in$ W.
Facile perchè 0+0 = 0+0 = 0 $in$ W.
2) $AA$ u,v $in$ W $=>$ u+v ...
Siano $(X,\tau_{X})$ e $(Y,\tau_{Y})$ due
spazi topologici, $A\subset X$, $B\subset Y$.
Allora sappiamo che anche $(A,\tau_{A})$, $(B,\tau_{B})$
sono spazi topologici con le topologie indotte.
Sia $f:A\to B$ e supponiamo che valgano le seguenti condizioni:
1) $A$ è aperto in $X$ (ossia $A\in\tau_{X}$).
2) $f$ è un omeomorfismo$\tau_{A}-\tau_{B}$.
Domanda: in tali ipotesi si può dimostrare che $f(A)$
è ...
Ma voi avete mai sentito parlare del metodo dello scalino?
Servirebbe ad individuare (in modo veloce credo) se 3 vettori sono tra loro linearmente indipendenti...
Inoltre potrebbe essere collegato al fatto che se su questi 3 vettori applico 3 operazioni elementari la loro indipendenza non cambia..
Ora io ho perso una lezione e chiaramene sto scalino non sta scritto a nessuna parte...qualcuno ne ha sentito parlare oppure sa vagamente quali sono i metodi per dimostrare se 3 vettori sono ...
Salve a tutti!
Sto cercando di fare uno studio in coordinate curvilinee di una forma geometrica di cui conosco i punti.
Ho due vettori discreti di punti, x = [ ... ] e y = [ ... ] che combinati mi restituiscono la mia figura.
Vorrei scrivere questi punti in funzione dell'ascissa curvilinea.
L'ascissa curvilinea la scrivo facilmente sommando i segmenti che distanziano i punti di volta in volta, quindi:
$s_1 = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)$
eccetera.
Il punto è, come trasformo poi le x e le y in modo da essere ...
Ciao a tutti.
Avrei bisogno di scrivere un programma che crei una matrice simmetrica, definita positiva, a banda (ossia che abbia elementi solo sulla diagonale e su un certo numero di sotto e sopradiagonali), dando in input la dimensione $N$ della matrice e il numero di sopra e sotto diagonale $KD$
Il linguaggio è indifferente: sono più interessato all'algoritmo in se. Per scrivere il programma penso di riuscirci da solo.
E' da un pò che ci provo ma senza risultati. ...
cos'è in modo semplice un tensore?
il mio professore di aerodinamica l'ha introdotto molto brevemente ed è passato subito a parlare del tensore degli sforzi.
mi piacerebbe capire in un modo matematico-geometrico corretto cos'è un tensore:
a quanto ho capito un tensore può essere vistocom e un vettore a componenti vettoriali: immaginarlo è un po' difficile, ma detto in questo modo posso pensare che sia una sorta di insieme di 4 vettori interconnessi in qualche modo tra loro.
leggendo su ...
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