Polinomio caratteristico e prodotto hermitiano
ciao a tutti, sto facendo il testo d'esame che la prof ci aveva dato nel parziale un po' di tempo fa, il primo esercizio chiedeva di di trovare una matrice $P$ tale che P*$AP$ sia diagonale ( con P* intende l'aggiunta) con $A$ fatta così
$((b^2,0,ib),(0,-1,0),(-ib,0,1))$ nel mio caso $b$ è 8 quindi avrei $((64,0,8i),(0,-1,0),(-8i,0,1))$ , il polinomio caratteristico
di questa matrice è $-\lambda^3+64\lambda2+65\lambda$ che io ho scomposto in $-\lambda(\lambda^2-64\lambda-65)$ , in
questo modo vengono dei calcoli piuttosto complicati soprattutto da fare senza calcolatrice, tipo $64^2$ o $sqrt(4356)$ che è $66$ ma me la devo calcolare, vi chiedo c'è qualche modo più immediato di scomporre il polinomio in modo da avere dei calcoli più semplici da fare senza calcolatrice?
inoltre vorrei sapere qual'è il prodotto Hermitiano associato ad $A$ io ho scritto $64x_1^2 - 8ix_3x_1 -x_2^2 + 8i x_1x_3 + x_3^2$ , e se é definito positivo anche quando ho un autovalore $=0$ ? grazie in anticipo a chiunque voglia rispondere
$((b^2,0,ib),(0,-1,0),(-ib,0,1))$ nel mio caso $b$ è 8 quindi avrei $((64,0,8i),(0,-1,0),(-8i,0,1))$ , il polinomio caratteristico
di questa matrice è $-\lambda^3+64\lambda2+65\lambda$ che io ho scomposto in $-\lambda(\lambda^2-64\lambda-65)$ , in
questo modo vengono dei calcoli piuttosto complicati soprattutto da fare senza calcolatrice, tipo $64^2$ o $sqrt(4356)$ che è $66$ ma me la devo calcolare, vi chiedo c'è qualche modo più immediato di scomporre il polinomio in modo da avere dei calcoli più semplici da fare senza calcolatrice?
inoltre vorrei sapere qual'è il prodotto Hermitiano associato ad $A$ io ho scritto $64x_1^2 - 8ix_3x_1 -x_2^2 + 8i x_1x_3 + x_3^2$ , e se é definito positivo anche quando ho un autovalore $=0$ ? grazie in anticipo a chiunque voglia rispondere
Risposte
ok quindi essendo indefinito non è definito positivo o no? se ci fossero stati solo autovalori positivi e uno $0$ la situoazione sarebbe stata la stessa? inoltre , mi consiglieresti di calcolare il det con la regola di laplace in questi casi anziché con la regola di sarrus come faccio di solito? un ultima domanda e scusa per la quantità 
il prodotto hermitiano che ho scritto è corretto?
il prodotto hermitiano che ho scritto è corretto?
ok grazie mille, il fatto è che sapevo non sarebbe capitata una 4 per 4 quindi dicevo mi faccio bene Sarrus poi il metodo di Laplace lo studierò da solo più avanti, vorrà dire che mi eserciterò, grazie mille della disponibilità
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