Topologia -assioma T3

[mistake89]

Salve a tutti.
Sto studiando Geometria differenziale, ad un certo punto mi sono imbatutto in questo teorema di topologia che non ho mai incontrato. Non riesco a trovare fonti nè a risalire alla dimostrazione - che magari è una sciocchezza -

Sia $M$ una varietà diff. paracompatta e sia $(V_i)_(i \in I)$ un ricoprimento aperto localmente finito.
Allora essendo $M$ $T_3$ e quindi regolare si ha: $p in M \rArr EE i in I t.c. p in V_i \rArr EE W_p in U(p) t.c. \bar(W_p) \sub V_i$.

Non riesco a trovare una dimostrazione.
Potete aiutarmi?

Grazie mille

[mistake89]

Sto provando a considerare i seguenti insiemi $V_i$ ed il suo complementare che è quindi un chiuso. Essendo $T3$ lo spazio allora possiamo separare $p in V_i$ e $C_M V_i$ con due aperti $A, B$ disgiunti. Dal fatto che $C_M V_i \sub B$ segue che $C_M B sub V_i$. Inoltre $p in C_M B$ in quanto essendo $A,B$ disgiunti $p \notin B$.
Quindi in definitiva $p in A nn C_M B$ e da qui però non riesco a mostrare che esiste un aperto $W$ contenuto in $A nn C_M B$. Se tale aperto esistesse, passando alle chiusure avrei la tesi.

[mistake89]

Mi stavo complicando la vita da solo - che dimostra che non devo studiare nei giorni di "festa".
La soluzione era a portata di mano. o. Sono un pò in ritardo sui tempi previsti poichè la pausa dopo il brodo è durata trop
Dal fatto che $A nn B = \empty$ segue che $A sub C_M B$ che è ovviamente chiuso e da cui la tesi.

Scusa per la domanda banale

[j18eos]

[ot]Per la serie: mi sono perso da solo, ho chiamato i soccorsi, e mi sono ritrovato da solo...
Ora, il problema, è che mi sono perso io! [/ot]

[mistake89]

Devastante lo studio durante le vacanze di natale!