Forme quadratiche definite positive
Salve a tutti,
Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia \(\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right) \). La forma quadratica associata ad A è definita positiva <=> |A|>0 e a>0
Ho quindi sfruttato il teorema che dice che una f.q. è definita positiva se e solo se gli autovalori sono tutti positivi (essendo una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile, quindi gli autovalori sono sempre numeri reali).
Quindi dal polinomio caratteristico:
\(\displaystyle \Delta_{A}(\lambda)=\lambda^{2}-tr(A)+|A|=\lambda^{2}-(a+c)\lambda+ac-b^{2} \)
Da qui passo alle soluzioni:
\(\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a+c)^{2}-4|A|}}{2} \)
Ora ho imposto che gli autovalori siano positivi, quindi:
\(\displaystyle a+c>\sqrt{(a+c)^{2}-4|A|}\implies(a+c)^{2}>(a+c)^{2}-4|A|\implies-4|A|<0\Leftrightarrow|A|>0 \)
ed ho quindi dimostrato la prima parte...ora però non ho capito da dove ricavare la condizione a>0
Ho pensato che nel caso la radice si annulli di porre \(\displaystyle a>-c \), ma questo non aiuta, come fare quindi?
Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia \(\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right) \). La forma quadratica associata ad A è definita positiva <=> |A|>0 e a>0
Ho quindi sfruttato il teorema che dice che una f.q. è definita positiva se e solo se gli autovalori sono tutti positivi (essendo una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile, quindi gli autovalori sono sempre numeri reali).
Quindi dal polinomio caratteristico:
\(\displaystyle \Delta_{A}(\lambda)=\lambda^{2}-tr(A)+|A|=\lambda^{2}-(a+c)\lambda+ac-b^{2} \)
Da qui passo alle soluzioni:
\(\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{a+c\pm\sqrt{(a+c)^{2}-4|A|}}{2} \)
Ora ho imposto che gli autovalori siano positivi, quindi:
\(\displaystyle a+c>\sqrt{(a+c)^{2}-4|A|}\implies(a+c)^{2}>(a+c)^{2}-4|A|\implies-4|A|<0\Leftrightarrow|A|>0 \)
ed ho quindi dimostrato la prima parte...ora però non ho capito da dove ricavare la condizione a>0
Ho pensato che nel caso la radice si annulli di porre \(\displaystyle a>-c \), ma questo non aiuta, come fare quindi?
Risposte
Io ragionerei così.
Abbiamo
\[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \]
dove \( \lambda_1,\ \lambda_2 \) sono gli autovalori di \( A \).
La forma quadratica associata ad \( A \) è definita positiva se e solo se \( \lambda_1,\ \lambda_2 > 0 \); in tal caso, si ha
\[ 0 < \det\ D = \det\ A \]
e la prima condizione è provata.
È anche immediato osservare che in tal caso \( \text{tr}\ A = \text{tr}\ D = \lambda_1 + \lambda_2 > 0 \).
Concludiamo facendo vedere che \( \text{tr}\ A,\ \det\ A > 0 \Leftrightarrow a > 0,\ \det\ A > 0 \).
(\( \Longrightarrow \)): si ha \( \det\ A > 0 \Rightarrow ac > 0 \) ed essendo \( \text{tr}\ A = a + c > 0 \) risulta \( a > 0 \) e \( c > 0 \).
(\( \Longleftarrow \)): si ha \( \det\ A > 0 \Rightarrow ac > 0 \) ed essendo \( a > 0 \) risulta \( c > 0 \) e dunque \( \text{tr}\ A > 0 \).
Abbiamo
\[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \]
dove \( \lambda_1,\ \lambda_2 \) sono gli autovalori di \( A \).
La forma quadratica associata ad \( A \) è definita positiva se e solo se \( \lambda_1,\ \lambda_2 > 0 \); in tal caso, si ha
\[ 0 < \det\ D = \det\ A \]
e la prima condizione è provata.
È anche immediato osservare che in tal caso \( \text{tr}\ A = \text{tr}\ D = \lambda_1 + \lambda_2 > 0 \).
Concludiamo facendo vedere che \( \text{tr}\ A,\ \det\ A > 0 \Leftrightarrow a > 0,\ \det\ A > 0 \).
(\( \Longrightarrow \)): si ha \( \det\ A > 0 \Rightarrow ac > 0 \) ed essendo \( \text{tr}\ A = a + c > 0 \) risulta \( a > 0 \) e \( c > 0 \).
(\( \Longleftarrow \)): si ha \( \det\ A > 0 \Rightarrow ac > 0 \) ed essendo \( a > 0 \) risulta \( c > 0 \) e dunque \( \text{tr}\ A > 0 \).
Ottimo, grazie...non avevo pensato a questa strada in effetti! Buon anno!
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