1 dimostrazione e una domanda
ciao a tutti, avrei due "problemi" una dimostrazione e un controesempio , la prima è una dimostrazione, se qualcuno ha voglia potrebbe aiutarmi dandomi qualche suggerimento per iniziare e poi seguendo i miei passi per completarla ? altrimenti se qualcuno me la dimostra direttamente non c'è nessun problema 
non pretendo mi facciate da baby sitter, la seconda parte riguarda un controesempio, ho pensato all'intersezione tra due piani che è una retta, ma non saprei come formulare il mio esempio in maniera formalmente corretta! grazie in anticipo a chiunque voglia rispondere, posto i quesiti:
Sia $V$ uno spazio vettoriale finito dimensionale su di un campo $k$ e$ W$ un suo sottospazio. Si dimostri che esiste sempre una applicazione lineare $f:V→V$ tale che$W=ker(f).$
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ con basi $B $e $B′$ allora il sottospazio intersezione $U ∩ W$ ha per base l’intersezione delle basi?
non pretendo mi facciate da baby sitter, la seconda parte riguarda un controesempio, ho pensato all'intersezione tra due piani che è una retta, ma non saprei come formulare il mio esempio in maniera formalmente corretta! grazie in anticipo a chiunque voglia rispondere, posto i quesiti:Sia $V$ uno spazio vettoriale finito dimensionale su di un campo $k$ e$ W$ un suo sottospazio. Si dimostri che esiste sempre una applicazione lineare $f:V→V$ tale che$W=ker(f).$
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ con basi $B $e $B′$ allora il sottospazio intersezione $U ∩ W$ ha per base l’intersezione delle basi?
Risposte
"angeloferrari":
Sia $V$ uno spazio vettoriale finito dimensionale su di un campo $K$ e$ W$ un suo sottospazio. Si dimostri che esiste sempre una applicazione lineare $f:V→V$ tale che $W=ker(f)$.
Puoi fare così: considera $w_1 , ... , w_r$ una base di $W$ e completala ad una base di $V$ aggiungendo vettori ($dim(V) = n$) $v_{r+1} , ... , v_n$.
Ora basta scrivere la matrice di $f$ rispetto alla base fissata... Puoi prendere per esempio
$((0, ... , 0 , 0 , ... , 0 ), (0, ... , 0 , 0 , ... , 0 ) , (\vdots , ,\vdots , \vdots , , \vdots ), (0, ... , 0 , 1 , ... , 0 ), (\vdots , ,\vdots , \vdots , \delta , \vdots ), (0, ... , 0 , 0 , ... , 1 ) )$
Dove $delta$ è il simbolo di Kronecker, e le prime $r$ colonne sono formate da vettori nulli.
Spero si capisca...
ciao, scusa il ritardo nella risposta, comunque non ho capito granché, ho proprio grandi difficoltà nelle dimostrazioni, soprattutto nell'iniziarle, per esempio perché l'hai iniziata prendendo una base di $W$ e completandola a una base di $V$ non l'ho proprio capito, e non ho capito perché la matrice associata ad $f$ è proprio quella , scusa tanto per il disturbo!
inoltre non so, a me sembra una affermazione ovvia quella da dimostrare e probabilmente sbaglio, cioè per me l'affermazione è vera per definizione di $Ker$ , il nucleo di una qualsiasi applicazione lineare è sempre un sottospazio del dominio per definizione no?
inoltre non so, a me sembra una affermazione ovvia quella da dimostrare e probabilmente sbaglio, cioè per me l'affermazione è vera per definizione di $Ker$ , il nucleo di una qualsiasi applicazione lineare è sempre un sottospazio del dominio per definizione no?
Nessun problema.
Data $f$ lineare, il nucleo di $f$ è sempre un sottospazio; e va bene... Questo esercizio però ti chiede di verificare che vale il viceversa, cioè che, preso un sottospazio di $V$, esiste un'applicazione che ha come nucleo proprio il sottospazio considerato.
Quindi dobbiamo far vedere che un'applicazione siffatta esiste. In questo caso si può anche costruire (non sempre le dimostrazioni di esistenza sono costruttive!). Preso $W \subset V$ e $w_1 , ... , w_r$ una sua base, consideriamo $f$ tale che $f_{|W} = \bb{0}$ (appl. nulla). Visto che $f$ è determinata per linearità dai valori che essa assume su una base, imponiamo $f(w_i) = \bb{0}$ per $i = 1 , ... , r$; quindi sicuramente $W \subset f^{-1}(\{\bb{0}\}) $. Ora devi scegliere $f(v_j)$ con $j = n-r , .... , n$ in modo tale che l'inclusione $W \subset f^{-1}(\{\bb{0}\}) $ sia un'uguaglianza; una scelta possibile è $f(v_j) = e_j$ ($j$-esimo versore della base canonica). La matrice di $f$ rispetto alla base scelta è quella del post precedente.
"angeloferrari":
inoltre non so, a me sembra una affermazione ovvia quella da dimostrare e probabilmente sbaglio, cioè per me l'affermazione è vera per definizione di $Ker$ , il nucleo di una qualsiasi applicazione lineare è sempre un sottospazio del dominio per definizione no?
Data $f$ lineare, il nucleo di $f$ è sempre un sottospazio; e va bene... Questo esercizio però ti chiede di verificare che vale il viceversa, cioè che, preso un sottospazio di $V$, esiste un'applicazione che ha come nucleo proprio il sottospazio considerato.
Quindi dobbiamo far vedere che un'applicazione siffatta esiste. In questo caso si può anche costruire (non sempre le dimostrazioni di esistenza sono costruttive!). Preso $W \subset V$ e $w_1 , ... , w_r$ una sua base, consideriamo $f$ tale che $f_{|W} = \bb{0}$ (appl. nulla). Visto che $f$ è determinata per linearità dai valori che essa assume su una base, imponiamo $f(w_i) = \bb{0}$ per $i = 1 , ... , r$; quindi sicuramente $W \subset f^{-1}(\{\bb{0}\}) $. Ora devi scegliere $f(v_j)$ con $j = n-r , .... , n$ in modo tale che l'inclusione $W \subset f^{-1}(\{\bb{0}\}) $ sia un'uguaglianza; una scelta possibile è $f(v_j) = e_j$ ($j$-esimo versore della base canonica). La matrice di $f$ rispetto alla base scelta è quella del post precedente.
ora mi è molto più chiara (credo), per conferma ti chiedo questo , scrivere $W⊂f^(−1)({0})$ equivale a scrivere $W⊂Ker(f)$ ? hai qualche idea sulla seconda domanda nel mio primo post? scusa il disturbo!
Esattamente. Per l'altra domanda...
... direi che quanto affermi non è vero. Considera il piano $RR^2$: come sottospazi prendi $U = RR^2$ stesso ed $U$ un sottospazio di dimensione $1$ (una retta per l'origine), per esempio $U = < \hat{x} >$. Una base di $U$ è $\hat{x}$, mentre una base di $RR^2$ è $\hat{x} + \hat{y}$ e $\hat{y}$. L'intersezione dei due sottospazi è $U$ mentre l'intersezione delle basi è vuota.
"angeloferrari":
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ con basi $B $e $B′$ allora il sottospazio intersezione $U ∩ W$ ha per base l’intersezione delle basi?
... direi che quanto affermi non è vero. Considera il piano $RR^2$: come sottospazi prendi $U = RR^2$ stesso ed $U$ un sottospazio di dimensione $1$ (una retta per l'origine), per esempio $U = < \hat{x} >$. Una base di $U$ è $\hat{x}$, mentre una base di $RR^2$ è $\hat{x} + \hat{y}$ e $\hat{y}$. L'intersezione dei due sottospazi è $U$ mentre l'intersezione delle basi è vuota.
grazie mille , era proprio un controesempio quello che cercavo, grazie della disponibilità, provare a capire l'algebra lineare è molto più difficile che passare l'esame per me:)
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