$RR$/$ZZ$=$S^1$

[melli13]

Salve a tutti...non riesco a capire perchè se $ZZ$ agisce su $RR$ tramite $n*x=n+x$, lo spazio quoziente $RR$/$ZZ$ è la circonferenza $S^1$. Sapreste spiegarmelo per favore? Grazie mille...

[j18eos]

Considera la funzione: \[\varphi:x\in\mathbb{R}\to(\cos(2\pi x);\sin(2\pi x))\in\mathbb{S}^1\] e dimostra che lo spazio quoziente \(\mathbb{R}_{\big/\displaystyle{\mathbb{Z}}}\) è lo spazio quoziente \(\mathbb{R}_{\big/\displaystyle{\varphi}}\simeq\mathbb{S}^1\)!

[melli13]

Scusami ma non capisco il significato di $RR$/$ \ varphi$...forse volevi dire $RR$/~ con $x$~$x'$ sse $x-x'=n in ZZ$...giusto?

[j18eos]

No no, mi sono dimenticato di specificare che con \(\mathbb{R}_{\big/\displaystyle{\varphi}}\) indico lo spazio quoziente su \(\mathbb{R}\) tale che: \(x\sim y\iff\varphi(x)=\varphi(y)\).

[melli13]

Grazie......con i teoremi sul quoziente sono quasi riuscita a dimostrare l'omeomorfismo. Mi manca solo di dimostrare che l'applicazione $\varphi$ è aperta (o chiusa). Qualche consiglio?
Se prendo un aperto in $RR$, che ha la forma $(a,b)$...cosa ottengo?
E poi che forma hanno gli aperti in $S^1$? Sono "intervalli aperti curvi", giusto? Ma come si formalizzano?