[EX] - Spazi metrici

[Sk_Anonymous]

Visto le recenti parrucconate che ho sparato, chiedo anche un'altra cosa: considero \[X=\prod_{i=1}^{\infty} [0,1]=[0,1] \times [0,1] \times \dots \] e \[Y= \prod_{i=1}^{\infty} [0, 1/i]=[0,1] \times [0,1/2] \times [0, 1/3 ] \times \dots \]Questi due sono spazi metrici? Secondo me sì, se li munisco nella distanza \(d: X \times X \to \mathbb{R}\) definita da \(d(x,y)= \max_{i} |x_i - y_i|\). Ma sono isometrici? Con questa distanza, la vedo dura...

Ringrazio.

[killing_buddha]

Faccio il bullo e ti sbatto li' senza verifica una congettura che sara' falsa, se proprio non hai un'idea migliore (e ce ne saranno almeno millanta) prova a controllare se sbaglio:

Considera su $Y$ la distanza $\delta(\{x\},\{y\})=\text{sup}_{i\in \mathbb N}i|x_i-y_i|$; e' una distanza.
Ora considera $f:X\to Y$ il prodotto transfinito di tutti gli omeomorfismi $[0,1]\to [0,1/i]$ che riscalano l'intervallo di un fattore $i$;
si tratta semplicemente di $\{x_i\}\mapsto \{\phi_i(x_i)\}$ dove $\phi_i$ riscala $[0,1]$ in $[0,1/i]$.
non e' che per caso $f$ e' un'isometria $X\to Y$?

[Sk_Anonymous]

Grazie k_b! Provo a pensarci e poi posto le mie riflessioni.

[Maci86]

E se la distanza sul secondo la calcoli così:
$max |x_i-y_i|*i$?

[vict85]

"Maci86":E se la distanza sul secondo la calcoli così:
$max |x_i-y_i|*i$?

Se intendi \(\displaystyle \max \bigl(n\lvert x_n - y_n \rvert\bigr) \) sono banalmente isometrici. Secondo me invece non sono isometrici con la metrica \(\displaystyle \max \lvert x_n - y_n \rvert \), ma per una dimostrazione formale ci devo pensare.