Topologia generata

[Sk_Anonymous]

Sarà pure una stupidata, ma ho un dubbio sulla topologia generata da un insieme; nella fattispecie non riesco a capire "che cosa essa contenga".

Se \(X\) insieme, considero \(A \subset \mathcal{P}(X)\) e la sua topologia generata \(\mathcal{T}_A\), che abbiamo definito come l'intersezione di tutte le topologie che contengono \(A\). Volendo però dare una descrizione "meno vaga" di \(\mathcal{T}_A\) ho pensato che essa contenga: \(A\), \(\varnothing\), intersezioni finite di elementi di \(A\), unioni arbitrarie di elementi di \(A\) e nient'altro. E' giusto?

Ringrazio.

[5mrkv]

Potresti provare a fare un esempio con insieme finito.

[Sk_Anonymous]

Al momento quanto ho detto mi sembra ragionevole: la topologia generata da un insieme è la più piccola topologia che contiene quell'insieme. Ora: se levassi per esempio anche solo un insieme dato da intersezione finita di elementi di \(A\) dalla mia descrizione, quello che otterrei non sarebbe più una topologia, perché non più chiusa per intersezioni finite. Quindi ho costruito un insieme minimale che contiene \(A\) e che può dirsi una topologia.
Se poi \(A\) avesse la proprietà che intersezioni finite di suoi elementi si scrivono come unioni arbitrarie, allora la topologia generata sarebbe semplicemente la famiglia di tutte le unioni arbitrarie, \(A\) ne sarebbe una base.

[beltzer]

non dovrebbe contenere anche le unioni arbitrarie delle intersezioni degli elementi di \(A\)?
comunque se il tuo \(A\) è un ricoprimento di \(X\), si cerca la topologia che ha \(A\) come prebase

[Sk_Anonymous]

"beltzer":non dovrebbe contenere anche le unioni arbitrarie delle intersezioni degli elementi di \(A\)? [...]

In effetti hai ragione, e ho fatto un casino per niente.

In realtà, per il problema su cui stavo ragionando, mi serviva soltanto questo:

"Delirium":Se poi \(A\) avesse la proprietà che intersezioni finite di suoi elementi si scrivono come unioni arbitrarie, allora la topologia generata sarebbe semplicemente la famiglia di tutte le unioni arbitrarie, e \(A\) ne sarebbe una base.

Mi scuso per aver creato confusione.