[RISOLTO] Ogni set di autovettori e' linearmente indipendente?

[giuscri]

Sia \(f \in \operatorname{End}(V)\). Sia \(\{\underline{v}_1, \ldots{}, \underline{v}_m\}\) un set di autovettori relativi all'operatore \(f\), e sia \(\{\lambda_1, \ldots{}, \lambda_m\}\) il set degli autovalori relativi -con \(\lambda_i \neq \lambda_j\), se \(i \neq j\).

Allora il set di autovettori e' libero?

EDIT*: la dimostrazione immediatamente qui sotto e' stata un pelo corretta in spoiler.

Direi di si. Infatti: esista per assurdo un indice \(i\) tale che
\begin{equation*}
\underline{v}_i = \sum_{j=1,\, j \neq i}^{m} \alpha_j\,\underline{v}_j
\end{equation*}
Allora, devo avere:
\begin{equation*}
f (\underline{v}_i) = \lambda_i\,\underline{v}_i = \sum_{j=1,\, j \neq i}^{m} \lambda_i\,\alpha_j\,\underline{v}_j\;: \\
\underline{v}_i = \sum_{j=1,\, j \neq i}^{m} \frac{\alpha_j\,\lambda_j}{\lambda_i} \underline{v}_j
\end{equation*}
Il che e' assurdo dato chei coefficienti relativi ad una combinazione lineare di vettori liberi devono essere unici.

Dubbio: e' vero che ho dimostrato qualcosa o mi sono ritrovato con un ciuffetto d'erba in mano?... L'idea e': perche' \(\{v_1, \ldots{}, \underline{v}_m\}\) non sia libero, mi basta che per qualche \(i\), \(\underline{v}_i\) sia dipendente dagli altri. Ma e' valida come negazione della tesi?...

Vi ringrazio

____
* Via induzione:

Idea!
Sia \(\underline{v}_1\) libero. Il set \(\{\underline{v}_1,\,\underline{v}_2\}\) e' libero? Si', perche' se p.a.
\begin{equation*}
\underline{v}_2 = \alpha_1\,\underline{v}_1 \Rightarrow \underline{v}_2 =
\frac{\alpha_1\,\lambda_1}{\lambda_2} \cdot \underline{v}_1\,.
\end{equation*}
Assurdo.
Ora praticamente come fuori dallo spoiler. Al passo \(n\) ho \(\{\underline{v}_1, \ldots{}, \underline{v}_n\}\) liberi. Mi chiedo se \(\{\underline{v}_{n+1}\} \cup \{\underline{v}_1, \ldots{}, \underline{v}_n\}\) sia libero. Per le considerazioni che facevo prima si mostra velocemente che \(n \Rightarrow {n+\!1}\).

C'e' bisogno di usare la dimostrazione dello spoiler? Perche' non mi basta quanto detto fuori dallo spoiler?

[Seneca1]

"giuscri":
Il che e' assurdo dato che i coefficienti relativi ad una combinazione lineare di vettori liberi devono essere unici.

Non è tra le tue ipotesi, però, che i vettori $\{ v_1 , ... , v_n \} \setminus \{v_i\}$ siano linearmente indipendenti.
Mi sembra che il ragionamento nello spoiler vada bene.

[giuscri]

"Seneca":[quote="giuscri"]
Il che e' assurdo dato che i coefficienti relativi ad una combinazione lineare di vettori liberi devono essere unici.

Non è tra le tue ipotesi, però, che i vettori $\{ v_1 , ... , v_n \} \setminus \{v_i\}$ siano linearmente indipendenti.
Mi sembra che il ragionamento nello spoiler vada bene.[/quote]

Ti ringrazio per avergli dato un'occhiata. Ciao