[EX] - Topologia discreta
Considero \(\{0,1\}\) con la topologia discreta e quindi \(X=\prod_{i=1}^{\infty} \{0,1\}=\{0,1\} \times \{0,1\} \times \dots \)
Mi domandavo: se "metto su" \(X\) la topologia prodotto, essa è discreta? In pratica "mettere su" \(X\) la topologia discreta significa considerare come aperti le intersezioni tra le antimmagini di aperti di \(\{0,1\}\) (che poi sarebbero \(\{0\}\), \(\{1\}\), \(\{0,1\}\) e \(\varnothing\)) tramite le varie proiezioni.
Sperando di non dire sciocchezze, considero per chiarirmi le idee la proiezione sulla prima componente \(\pi_1\); se non vedo male dovrebbe essere \(\pi_1 ^{\leftarrow} (\{0\})= \{0\}\), \(\pi_1^{\leftarrow} (\{1\}) = \{1\}\), \(\pi_1^{\leftarrow} (\{0,1\})=\{0,1\}\) e \(\pi_1^{\leftarrow} (\varnothing)=\varnothing\); estendendo il ragionamento mi pare di ritrovare infine che gli aperti di \(X\) sono tutto \(\mathcal{P}(X)\), e quindi la topol. prodotto su \(X\) è discreta. Dico bene? Se è così, allora su \(X\) potrei pure metterci la metrica discreta, giusto?
Ringrazio.
Edit. Corretto refuso grammaticale.
Mi domandavo: se "metto su" \(X\) la topologia prodotto, essa è discreta? In pratica "mettere su" \(X\) la topologia discreta significa considerare come aperti le intersezioni tra le antimmagini di aperti di \(\{0,1\}\) (che poi sarebbero \(\{0\}\), \(\{1\}\), \(\{0,1\}\) e \(\varnothing\)) tramite le varie proiezioni.
Sperando di non dire sciocchezze, considero per chiarirmi le idee la proiezione sulla prima componente \(\pi_1\); se non vedo male dovrebbe essere \(\pi_1 ^{\leftarrow} (\{0\})= \{0\}\), \(\pi_1^{\leftarrow} (\{1\}) = \{1\}\), \(\pi_1^{\leftarrow} (\{0,1\})=\{0,1\}\) e \(\pi_1^{\leftarrow} (\varnothing)=\varnothing\); estendendo il ragionamento mi pare di ritrovare infine che gli aperti di \(X\) sono tutto \(\mathcal{P}(X)\), e quindi la topol. prodotto su \(X\) è discreta. Dico bene? Se è così, allora su \(X\) potrei pure metterci la metrica discreta, giusto?
Ringrazio.
Edit. Corretto refuso grammaticale.
Risposte
Ovviamente sì: basta ricordarsi che le anti-immagini degli aperti degli spazi fattori mediante le proiezioni formano una prebase della topologia prodotto!
P.S.: Sai di che parlo?
P.S.: Sai di che parlo?
"j18eos":
[...]
P.S.: Sai di che parlo?
Diciamo ni; qui ho voluto farlo "a mano".
Grazie!
Per il teorema di Tychonoff $X$ e' compatto. Se fosse anche discreto, sarebbe finito $\ldots$
@Delirium AAArrrGGGhhh ho sbagliato ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ripeto: sappiamo che gli aperti di una prebase del prodotto sono \(\pi_i^{-1}(\cdot)\) ove \(i\in\mathbb{N}\), le loro intersezioni finite formano una base del prodotto; quindi nessun punto del prodotto può essere aperto e la topologia prodotto non è discreta!
@Stickelberg I tuoi interventi sono sempre colpi da maestro!
Ripeto: sappiamo che gli aperti di una prebase del prodotto sono \(\pi_i^{-1}(\cdot)\) ove \(i\in\mathbb{N}\), le loro intersezioni finite formano una base del prodotto; quindi nessun punto del prodotto può essere aperto e la topologia prodotto non è discreta!
@Stickelberg I tuoi interventi sono sempre colpi da maestro!
Nel contesto in cui sono, non ho a disposizione né Tychonoff né la nozione di compattezza, quindi mi rifarei piuttosto alla spiegazione di j18eos, che però non ho capito (dal "quindi" in poi)... Inoltre: questo fatto posso mostrarlo "a mano"?
Ricomincio dall'inizio!
Sull'insieme \(\{0;1\}=\dot I\) considero la topologia discreta; consideratone il prodotto topologico numerabile \(\displaystyle{\prod_{k=1}^{+\infty}\dot I_k}\) si ottiene una topologia \(\mathcal{T}\) su di esso.
Sia \(x\) un elemento di tale prodotto, esso è una successione di \(0\) e \(1\), quindi il precedente prodotto cartesiano è \(\dot I^{\mathbb{N}}\) ovvero l'insieme delle successioni di \(0\) e \(1\); in particolare, la \(k\)-esima proiezione \(\pi_k\) applicata alla generica successione in \(\dot I^{\mathbb{N}}\) ne restituisce il \(k\)-esimo elemento.
Per costruzione di \(\dot I^{\mathbb{N}}\), il generico elemento \(X\) della prebase \(\mathcal{S}\) è:
\[
X=\{\text{successione di 0 e 1}\equiv x\mid\pi_k(x)=\cdot\}=\pi_k^{-1}(\{\cdot\})
\]
ove \(\cdot\) è \(0\) oppure \(1\); ovvero, il generico elemento di \(\mathcal{S}\) è l'insieme delle successioni di \(0\) e \(1\) di fissato \(k\)-esimo elemento, da ciò, la base \(\mathcal{B}\) è composto dagli insiemi delle successioni di \(0\) e \(1\) con finiti elementi fissati.
Riesci a concludere che nessun punto di \(\dot I^{\mathbb{N}}\) non può essere aperto, sicché la topologia prodotto non può essere quella discreta?
Sull'insieme \(\{0;1\}=\dot I\) considero la topologia discreta; consideratone il prodotto topologico numerabile \(\displaystyle{\prod_{k=1}^{+\infty}\dot I_k}\) si ottiene una topologia \(\mathcal{T}\) su di esso.
Sia \(x\) un elemento di tale prodotto, esso è una successione di \(0\) e \(1\), quindi il precedente prodotto cartesiano è \(\dot I^{\mathbb{N}}\) ovvero l'insieme delle successioni di \(0\) e \(1\); in particolare, la \(k\)-esima proiezione \(\pi_k\) applicata alla generica successione in \(\dot I^{\mathbb{N}}\) ne restituisce il \(k\)-esimo elemento.
Per costruzione di \(\dot I^{\mathbb{N}}\), il generico elemento \(X\) della prebase \(\mathcal{S}\) è:
\[
X=\{\text{successione di 0 e 1}\equiv x\mid\pi_k(x)=\cdot\}=\pi_k^{-1}(\{\cdot\})
\]
ove \(\cdot\) è \(0\) oppure \(1\); ovvero, il generico elemento di \(\mathcal{S}\) è l'insieme delle successioni di \(0\) e \(1\) di fissato \(k\)-esimo elemento, da ciò, la base \(\mathcal{B}\) è composto dagli insiemi delle successioni di \(0\) e \(1\) con finiti elementi fissati.
Riesci a concludere che nessun punto di \(\dot I^{\mathbb{N}}\) non può essere aperto, sicché la topologia prodotto non può essere quella discreta?
@j18eos 
@Delirium Aggiungo alla spiegazione di @j18eos: dalla definizione della
topologia prodotto segue direttamente che gli aperti non vuoti di $X$ hanno la forma
$U\times\prod_{i\in NN-A}\{0,1\}$
dove $A$ e' un sottoinsieme finito di $NN$ e $U$ e' un sottoinsieme arbitrario di $\prod_{i\in A}\{0,1\}$.
@Delirium Aggiungo alla spiegazione di @j18eos: dalla definizione della
topologia prodotto segue direttamente che gli aperti non vuoti di $X$ hanno la forma
$U\times\prod_{i\in NN-A}\{0,1\}$
dove $A$ e' un sottoinsieme finito di $NN$ e $U$ e' un sottoinsieme arbitrario di $\prod_{i\in A}\{0,1\}$.
j18eos, intanto ti ringrazio per la risposta, e mi scuso per le eventuali bestiate che andrò dicendo, ma ho iniziato a studiare topologia da pochissimissimo. Una prima cosa: questo
non dovrebbe essere
?
Non ancora, ma forse ho un'idea: se ogni aperto di una topologia si può scrivere come unione arbitraria di elementi di una certa base, siccome nella topologia discreta i punti sono aperti, devo riuscire a mostrare che con il "modello" di base che ho non riesco a scrivere i punti come unioni arbitrarie... mi confermi?
"j18eos":
[...]
Per costruzione di \(\dot I^{\mathbb{N}}\), il generico elemento \(X\) della prebase \(\mathcal{S}\) è:
\[
X=\{\text{successione di 0 e 1}\equiv x\mid \pi_k^{-1}(x)=\{\cdot\}\}
\][...]
non dovrebbe essere
"j18eos":
[...]
Per costruzione di \(\dot I^{\mathbb{N}}\), il generico elemento \(X\) della prebase \(\mathcal{S}\) è:
\[
X=\{\text{successione di 0 e 1}\equiv x\mid \pi_k^{-1}(\cdot)=\{ x \}\}
\][...]
?
"j18eos":
Riesci a concludere che nessun punto di \(\dot I^{\mathbb{N}}\) può essere aperto, sicché la topologia prodotto non può essere quella discreta?
Non ancora, ma forse ho un'idea: se ogni aperto di una topologia si può scrivere come unione arbitraria di elementi di una certa base, siccome nella topologia discreta i punti sono aperti, devo riuscire a mostrare che con il "modello" di base che ho non riesco a scrivere i punti come unioni arbitrarie... mi confermi?
"Stickelberger":
[...]
@Delirium Aggiungo alla spiegazione di @j18eos: dalla definizione della
topologia prodotto segue direttamente che gli aperti non vuoti di $X$ hanno la forma
$U\times\prod_{i\in NN-A}\{0,1\}$
dove $A$ e' un sottoinsieme finito di $NN$ e $U$ e' un sottoinsieme arbitrario di $\prod_{i\in A}\{0,1\}$.
Ok, e mi pare che i punti non siano di questa forma...
Grazie Stickelberger!
"Delirium":Non scriviamo parole che non esistono -_- Comunque mi hai fatto notare che non sono stato preciso manco a volerlo (è stata l'influenza
j18eos, intanto ti ringrazio per la risposta, e mi scuso per le eventuali bestialità che andrò dicendo...
lo giuro 
)"Delirium":Sì, un'altra idea sarebbe questa.
...Non ancora, ma forse ho un'idea: se ogni aperto di una topologia si può scrivere come unione arbitraria di elementi di una certa base, siccome nella topologia discreta i punti sono aperti, devo riuscire a mostrare che con il "modello" di base che ho non riesco a scrivere i punti come unioni arbitrarie... mi confermi?
[ot]
in rosso![/ot]
"Delirium":Avevo corretto
j18eos,... mi scuso per le eventuali bestiate che andrò dicendo...
in rosso![/ot]
[ot]Vero, allora mea culpa. Comunque è un termine dialettale che si usa dalle mie parti...[/ot]
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