[RISOLTO] Confusione su esercizio stupido su spazi vettoriali
Hudio 
Stabilirese
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a^2 \\
0
\end{pmatrix}
\subset \mathbb{R}^2
\end{equation*}
e' uno spazio vettoriale.
Mi sembra piuttosto chiaro che la risposta sia no, ma perche?
\begin{equation*}
\underline{v} + \underline{w} = \binom{v_1^2}{0} + \binom{w_1^2}{0} = \binom{v_1^2 + w_1^2}{0}
\end{equation*}
Perche' non puo' stare nel sottoinsieme di partenza. Mi basta
\begin{equation*}
a := \sqrt{v_1^2 + w_2^2}
\end{equation*}
no?
Stabilirese
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a^2 \\
0
\end{pmatrix}
\subset \mathbb{R}^2
\end{equation*}
e' uno spazio vettoriale.
Mi sembra piuttosto chiaro che la risposta sia no, ma perche?
\begin{equation*}
\underline{v} + \underline{w} = \binom{v_1^2}{0} + \binom{w_1^2}{0} = \binom{v_1^2 + w_1^2}{0}
\end{equation*}
Perche' non puo' stare nel sottoinsieme di partenza. Mi basta
\begin{equation*}
a := \sqrt{v_1^2 + w_2^2}
\end{equation*}
no?
Risposte
Questa volta inizio bene: la domanda è mal posta! 
Seriamente il tuo problema è dimostrare che l'insieme \(\left\{\begin{pmatrix}a^2\\0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2:a\in\mathbb{R}\right\}\) non è uno spazio vettoriale; così sarebbe ben posta la domanda.
Secondo la richiesta, è sempre \(v_1^2+w_1^2\) il quadrato di \(v_1+w_1\)?
Seriamente il tuo problema è dimostrare che l'insieme \(\left\{\begin{pmatrix}a^2\\0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2:a\in\mathbb{R}\right\}\) non è uno spazio vettoriale; così sarebbe ben posta la domanda.
Secondo la richiesta, è sempre \(v_1^2+w_1^2\) il quadrato di \(v_1+w_1\)?
[ot]
Non capisco la differenza ...[/ot]
Ok. Ma infatti il vero dubbio e': dove c'e' scritto che mi devo ritrovare con \[\binom{(v_1 + w_1)^2}{0}\]
Esempio scemo:
\[\underline{v} = \binom{5^2}{0},\, \underline{w} = \binom{3^2}{0}\]
Mi basta scegliere \(a := \sqrt{5^2 + 3^2}\) per avere \[\underline{v} + \underline{w} = \binom{a^2}{0}\]
"j18eos":
così sarebbe ben posta la domanda.
Non capisco la differenza ...[/ot]
"j18eos":
Secondo la richiesta, è sempre \(v_1^2+w_1^2\) il quadrato di \(v_1+w_1\)?
Ok. Ma infatti il vero dubbio e': dove c'e' scritto che mi devo ritrovare con \[\binom{(v_1 + w_1)^2}{0}\]
Esempio scemo:
\[\underline{v} = \binom{5^2}{0},\, \underline{w} = \binom{3^2}{0}\]
Mi basta scegliere \(a := \sqrt{5^2 + 3^2}\) per avere \[\underline{v} + \underline{w} = \binom{a^2}{0}\]
Hai scritto nel primo post: è vero che i vettori colonna "di tal specie" sono uno spazio vettoriale contenuto in \(\mathbb{R}^2\)!
Sulla somma, in effetti ha ragione tu... chiedo scusa!
Sommando vettori di tal fatta ottieni sempre un vettore con prima coordinata non negativa e seconda coordinata nulla; e ragionando col prodotto uno scalare per un vettore? Che ti viene fuori?
Sulla somma, in effetti ha ragione tu... chiedo scusa!
Sommando vettori di tal fatta ottieni sempre un vettore con prima coordinata non negativa e seconda coordinata nulla; e ragionando col prodotto uno scalare per un vettore? Che ti viene fuori?
Ovviamente no! Se moltiplichi per lo scalare $-1$, il vettore appartiene allo spazio?
"Maci86":
Ovviamente no! Se moltiplichi per lo scalare $-1$, il vettore appartiene allo spazio?
No, d'accordo. Quella roba non e' sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^2\).
Voglio proporre un altro sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\):
\[ \left\{ \binom{a+1}{0} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \]
E' un sottospazio vettoriale? Come prima:
\[ \underline{v}+\underline{w} = \binom{v_1+1}{0} + \binom{w_1+1}{0} = \binom{\cdot \, +\!1}{0}
\qquad \cdot \equiv (v_1+w_1+1) \stackrel{def}{=} a^{(1)} \]
D'altrocanto, per ogni \(\lambda\) reale riesco a scrivere
\[\lambda \underline{v} = \binom{\lambda(v_1+1)}{0} = \binom{\cdot +\!1}{0}
\qquad \cdot \equiv \lambda v_1 + (\lambda -\!1) +\!1 \stackrel{def}{=} a^{(2)}\]
Conclusio:
\[ \left\{ \binom{a+1}{0} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \]
e' uno spazio vettoriale. E' davvero corretto?
[size=85]Mi scuso per la pedenteria ma sono parecchio indeciso sulla questione.[/size]
Tutto corretto!
Sull'esempio in spoiler, potresti studiarlo da solo.
Sull'esempio in spoiler, potresti studiarlo da solo.
"j18eos":
Sull'esempio in spoiler, potresti studiarlo da solo
Mmm, non ho capito se ti riferisci a un qualche studio su quello spazio vettoriale o sono io che dovrei risolverlo da solo.
Nel dubbio: come dicevo nel post precedente, la somma non mi da problemi. Questa volta nemmeno il prodotto per scalare perche' non riesco piu' a fare il giochetto di usare uno scalare negativo (come suggeriva Maci) -ehy!, sto pensando a spazi vettoriali su \(\mathbb{R}\).
Comunque, in modo pedante -come prima-:
[list=1]
[*:213c6o6h]chiusura rispetto alla somma:
\begin{equation*}
\underline{v} = \binom{v_1}{{v_2}^3},\,\underline{w} = \binom{w_1}{{w_2}^3}\;\Rightarrow
\underline{v} + \underline{w} = \binom{a}{b^3} \qquad a := v_1 + w_1,\; b:= \sqrt[3]{{v_2}^3 + {w_2}^3}\, \in \mathbb{R}
\end{equation*}
[/*:213c6o6h]
[*:213c6o6h]chiusura rispetto al prodotto per scalare:
\begin{equation*}
\underline{v} = \binom{v_1}{{v_2}^3} \Rightarrow \lambda \cdot \underline{v} = \binom{a}{b^3}
\qquad a:= \lambda \cdot v_1,\, b:= \sqrt[3]{\lambda} \cdot v_2 \, \in \mathbb{R}
\end{equation*}
[/*:213c6o6h]
[/list:o:213c6o6h]
Si tratta dunque di uno spazio vettoriale -ah, chiaramente mi basta scegliere \(\{a,\,b\} \equiv \{0,\,0\}\) per avere \(0_{\mathbb{R}^2}\).
[ot]Quindi:
\begin{equation*}
\left\{ \binom{a}{b^3} \;\big|\; a,\,b \in \mathbb{R}\right\} < \mathbb{R}^2
\end{equation*}
[/ot]
Esatto! : )
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