$\phi|_W$
Ieri, facendo il secondo compitino di algebra lineare mi sono ritrovato un esercizio che non ho saputo risolvere, avevo un prodotto scalare $\phi$ in cui mi si dava solo la matrice associata. Il primo punto chiedeva di trovare la segnatura del prod.scalare $(2,1,1)$ e le equazioni cartesiane del radicale dello spazio di partenza. Fin qui tutto bene.
Nel due chiedeva di trovare una base di un ssv. Di V tale che la dimensione fosse 3 e quella del suo ortogonale 2. Qui non sapevo proprio come fare! Posso chiedere se qualcuno ha degli esercizi in rete di questo genere che possono aiutarmi?.
Inoltre nel punto 3 chiede di determinare se possibile un ssv. U di V tale che dimU=3 e che la restrizione del prodotto scalare ad U quello nullo... mi è stato detto(dopo l'esonero) che non poteva esistere quel sottospazio...e sinceramente non ho capito perché. Pensandoci ho visto che l'ortogonale di U ha dimensione 3 e che quindi U ed il suo ortogonale dovrebbero avere almeno un piano come intersezione, non capisco come sia impossibile trovarne una base.
Nel due chiedeva di trovare una base di un ssv. Di V tale che la dimensione fosse 3 e quella del suo ortogonale 2. Qui non sapevo proprio come fare! Posso chiedere se qualcuno ha degli esercizi in rete di questo genere che possono aiutarmi?.
Inoltre nel punto 3 chiede di determinare se possibile un ssv. U di V tale che dimU=3 e che la restrizione del prodotto scalare ad U quello nullo... mi è stato detto(dopo l'esonero) che non poteva esistere quel sottospazio...e sinceramente non ho capito perché. Pensandoci ho visto che l'ortogonale di U ha dimensione 3 e che quindi U ed il suo ortogonale dovrebbero avere almeno un piano come intersezione, non capisco come sia impossibile trovarne una base.
Risposte
Forse ho trovato un modo per risolvere il 2 punto: dato che $H \subset V$ allora $V^{\bot} \subset H^{bot}$ e dato che H ed il suo ortogonale hanno sicuramente almeno come intersezione non banale una retta allora il vettore che è base di $V^{\bot}$ lo sarà anche di $H \cap H^{\bot}$ quindi dato che $H \subset V$ due vettori lin indipendenti in V uniti alla base del suo ortogonale sono i 3 vettori di base desiderati.
Devo ammettere che sono confuso sulla tua notazione. Che prodotto scalare sarebbe \((2,1,1)\)? Non l’ho mai visto espresso usando solo 3 valori, insomma in genere è definito da \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\) valori. Detto questo la dimensione dello spazio è 3?
$(2,1,1)$ è la segnatura!!
Intendi di V ?
"vict85":
Detto questo la dimensione dello spazio è 3?
Intendi di V ?
Si, ma ora le cose mi tornano. In questo caso ti basta notare che se tu hai una base \(\displaystyle \{ v_i \} \) ortogonale e tale che \(\displaystyle \langle v_4, v_4\rangle = 0 \) allora \(\displaystyle \mathcal{L}(v_2, v_3, v_4)^{\bot} = \mathcal{L}(v_1, v_4) \).
No aspetta non ho capito l'ultimo passaggio perché $(Span(v_2,v_3,v_4)^{bot})=Span(v_1,v_2)$?? Provo a spiegarti meglio qual'è il mio problema..so che $v_4$ va messo nella base di H, ora mi mancano 2 vettori..con che criterio li scelgo?.
Inoltre non capisco perché è impossibile trovare U che soddisfa quelle condizioni..(lo so sono un disperato
)
Inoltre non capisco perché è impossibile trovare U che soddisfa quelle condizioni..(lo so sono un disperato
)
Ok, mi sto confondendo. Allora, il fatto che \(\displaystyle \varphi \) abbia segnatura \(\displaystyle (2,1,1) \) significa che esiste una base ortogonale \(\displaystyle \mathscr{B} = \{ b_i \} \) tale che \(\displaystyle \varphi \), rappresentato come matrice rispetto alla base \(\displaystyle \mathscr{B} \) sia diagonale e abbia la forma \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] o con 1 e -1 scambiati a seconda della convenzione.
La mia frase era per dire che, usando questa base, l'elemento generico di \(\displaystyle \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_4) \) ha come spazio ortogonale un elemento della forma:
\begin{align} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} &= 0 \\
\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} &= 0 \\
\alpha a + \beta b &= 0
\end{align}
Siccome però deve essere vero per ogni \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) si avrà che \(\displaystyle a = b = 0 \) e perciò che \(\displaystyle \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_4)^{\bot} = \mathrm{Span}(b_3, b_4) \)
Riguardo al punto 3. Supponiamo per assurdo che esista un \(\displaystyle U \) con queste caratteristiche allora per ogni suo elemento \(\displaystyle v \), \(\displaystyle \varphi(v,v) = 0 \). Notiamo che possiamo supporre che \( U \supset \displaystyle \mathbb{R}b_4 = V^{\bot} \), quindi essendo \(\displaystyle V = \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2)\oplus \mathbb{R}b_4 \) possiamo restringere la nostra attenzione alla proiezione \(\displaystyle \tilde{U} \) di \(\displaystyle U \) in \(\mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2) \). Questo sottospazio ha dimensione \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle \phi\mid_{\tilde{U}} \equiv 0\) per ipotesi. La differenza rispetto a prima è che \(\displaystyle \phi\mid_{\mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2)} \) è non degenere.
EDIT: mi sono accorto di un errore nel mio ragionamento, domani mi metto a concludere il tutto per bene.
La mia frase era per dire che, usando questa base, l'elemento generico di \(\displaystyle \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_4) \) ha come spazio ortogonale un elemento della forma:
\begin{align} \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} &= 0 \\
\begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} &= 0 \\
\alpha a + \beta b &= 0
\end{align}
Siccome però deve essere vero per ogni \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) si avrà che \(\displaystyle a = b = 0 \) e perciò che \(\displaystyle \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_4)^{\bot} = \mathrm{Span}(b_3, b_4) \)
Riguardo al punto 3. Supponiamo per assurdo che esista un \(\displaystyle U \) con queste caratteristiche allora per ogni suo elemento \(\displaystyle v \), \(\displaystyle \varphi(v,v) = 0 \). Notiamo che possiamo supporre che \( U \supset \displaystyle \mathbb{R}b_4 = V^{\bot} \), quindi essendo \(\displaystyle V = \mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2)\oplus \mathbb{R}b_4 \) possiamo restringere la nostra attenzione alla proiezione \(\displaystyle \tilde{U} \) di \(\displaystyle U \) in \(\mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2) \). Questo sottospazio ha dimensione \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle \phi\mid_{\tilde{U}} \equiv 0\) per ipotesi. La differenza rispetto a prima è che \(\displaystyle \phi\mid_{\mathrm{Span}(b_1, b_2, b_2)} \) è non degenere.
EDIT: mi sono accorto di un errore nel mio ragionamento, domani mi metto a concludere il tutto per bene.
Ripensandoci basta osservare che se \(\displaystyle \varphi\mid_U \) fosse nulla allora esisterebbe una base in cui \(\displaystyle \varphi \) ha la forma\(\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & 0 & 0 &0 \\ c & 0 & 0 &0 \\ d & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \). Ma questa matrice ha rango minore o uguale a 2, perciò una sua diagonalizzazione avrebbe almeno 2 zeri sulla diagonale. Ma questo è assurdo perché \(\displaystyle \varphi \) ha segnatura \(\displaystyle (2,1,1) \)
"vict85":
Ripensandoci basta osservare che se \(\displaystyle \varphi\mid_U \) fosse nulla allora esisterebbe una base in cui \(\displaystyle \varphi \) ha la forma\(\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & 0 & 0 &0 \\ c & 0 & 0 &0 \\ d & 0 & 0 &0 \end{pmatrix} \). Ma questa matrice ha rango minore o uguale a 2, perciò una sua diagonalizzazione avrebbe almeno 2 zeri sulla diagonale. Ma questo è assurdo perché \(\displaystyle \varphi \) ha segnatura \(\displaystyle (2,1,1) \)
Ok mi è quasi tutto chiaro grazie
Stavo pensando questa cosa, volevo sapere se a: fosse giusta , b: come formalizzarla a livello teorico.
Ad esempio voglio trovare una base del'ortogonale di H ,volevo sapere se, avendo i 3 vettori di base di H potevo fare così:
\[
\begin{pmatrix}
& e_1 & \\
& e_2 & \\
& v_4&&
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
& & & \\
& A& & \\
& & &\\
& & &
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
t\\
\end{pmatrix}=0
\]
e prendere i vettori lin,. indipendenti, volevo sapere se fosse giusto poiché così mi posso scegliere un vettore ortogonale a e1 e2 v4 e lin indip da essi..
\EDIT i vettori sarebbero i valori che tiro fuori dalle condizioni che ho trovato su x,y,z,t assegnando arbitrariamente un valore ad una o due o tre variabili(diciamo è un pò come trovare una base del Ker di A).
Spero di essermi spiegato.
Ad esempio voglio trovare una base del'ortogonale di H ,volevo sapere se, avendo i 3 vettori di base di H potevo fare così:
\[
\begin{pmatrix}
& e_1 & \\
& e_2 & \\
& v_4&&
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
& & & \\
& A& & \\
& & &\\
& & &
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
t\\
\end{pmatrix}=0
\]
e prendere i vettori lin,. indipendenti, volevo sapere se fosse giusto poiché così mi posso scegliere un vettore ortogonale a e1 e2 v4 e lin indip da essi..
\EDIT i vettori sarebbero i valori che tiro fuori dalle condizioni che ho trovato su x,y,z,t assegnando arbitrariamente un valore ad una o due o tre variabili(diciamo è un pò come trovare una base del Ker di A).
Spero di essermi spiegato.
tragediaaaaaaaaaaa,ok ok ora controllo come lo avete fatto...ma a me pareva proprio un compitone non un compitino... 
comunque nel punto 3) io ho ragionato che non può esistere tale ssv perchè sia U il ssv di dim=3 che vogliamo abbia p.scalare nullo, tuttavia essendo la segnatura del nostro prodotto scalare (2,1,1) l'indice di positività =2 corrisponde alla max dimensione di un ssv W tale che la restrizione allo stesso è definita positiva, pertanto il ssv U di dim=3 intersecherà sempre W e quindi U avrà sempre un vettore che ha p.scalare diverso da zero, quindi non può essere nullo!
X kikkina0909 : Ma sei dello stesso corso dell'autore della discussione?
Comunque per il punto 3 mi sembra vada bene. Solo che invece di dire che ha prodotto scalare diverso da zero dovresti dire che ha la forma quadratica associata diversa da 0. Mi sembra più corretta, volendo puoi anche dire che la funzione \(\displaystyle f\colon U\to \mathbb{R} \) definita come \(\displaystyle v \mapsto \varphi(x, v) \) è non nulla.
Comunque per il punto 3 mi sembra vada bene. Solo che invece di dire che ha prodotto scalare diverso da zero dovresti dire che ha la forma quadratica associata diversa da 0. Mi sembra più corretta, volendo puoi anche dire che la funzione \(\displaystyle f\colon U\to \mathbb{R} \) definita come \(\displaystyle v \mapsto \varphi(x, v) \) è non nulla.
X Ariz93 : non ho capito. In generale per costruire la base ortonormale si procede come per graham-smitt.
"vict85":
X Ariz93 : non ho capito. In generale per costruire la base ortonormale si procede come per graham-smitt.
Capisco ciò che intendi io cercavo un modo più sbrigativo e diciamo che me lo sono quasi inventato, diciamo che sfrutta le coordinate dei vettori e non i vettori stessi, sinceramente ho verificato e funziona...ora vorrei capire bene perché funziona e penso che sia un percorso parallelo a Graham-Smitt solo che lavora in coordinate e con la matrice associata.... mi spiace che non mi sia espresso bene, ora provo a formulare meglio le cose per farmi capire
X vict85 : è venuto fuori di si,stesso corso, scusate se ho personalizzato il post,dopo me ne sono accorta e ho mandato mp privato per rendere il post di più utile fruizione per tutti.
In tutti i casi pur avendole studiate, o meglio accennate le forme quadratiche non le abbiamo mai utilizzate per spiegare un esercizio quindi non mi era proprio venuto in mente di dire così
grazie
In tutti i casi pur avendole studiate, o meglio accennate le forme quadratiche non le abbiamo mai utilizzate per spiegare un esercizio quindi non mi era proprio venuto in mente di dire così
grazie
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