Endomorfismi : Dimensione Immagine e Nucleo
Ciao a tutti , vorrei un chiarimento su un esercizio su cui ho dei dubbi. scusate in anticipo se non uso le formule sono nuovo ed è il mio primo post.
testo : data A matrice appartenente ad R(4) e dato f(x) appartenente a End (R(4)) , sia f(A) = A (trasp) - A , determinare dimensione Immagine e nucleo di f(a).
l'idea di base che ho avuto è stata svolgere la funzione con una generica matrice, ricavarmi il ker e dal teorema
dim V = dim Im + dim ker ricavarmi il resto.
ho proceduto svolgendo la funzione una matrice a generica e svolgendo la sottrazione tra A(trasp) ed A ottengo una matrice antisimmetrica. dopo di che per fare il ker ho uguagliato tutte le componenti della matrice a zero ed ottengo così 6 condizioni per gli elementi fuori dalla diagonale , più la diagonale nulla.
il dubbio che ho è come devo considerare gli zeri sulla diagonale ovvero, sono elementi da considerare per il ker e quindi
dim ker = 6+ 4 = 10 ?
inoltre volevo sapere se qualcuno può confermarmi l'attendibilità di questa formula che ho trovato ma di cui non mi fido :
se A appartiene ad R(n) e f(a) = A - A(trasp) , allora dim Im = [n(n-1)] / 2 e dim ker = [n(n+1)]/2
spero di essere stato chiaro, grazie in anticipo.
testo : data A matrice appartenente ad R(4) e dato f(x) appartenente a End (R(4)) , sia f(A) = A (trasp) - A , determinare dimensione Immagine e nucleo di f(a).
l'idea di base che ho avuto è stata svolgere la funzione con una generica matrice, ricavarmi il ker e dal teorema
dim V = dim Im + dim ker ricavarmi il resto.
ho proceduto svolgendo la funzione una matrice a generica e svolgendo la sottrazione tra A(trasp) ed A ottengo una matrice antisimmetrica. dopo di che per fare il ker ho uguagliato tutte le componenti della matrice a zero ed ottengo così 6 condizioni per gli elementi fuori dalla diagonale , più la diagonale nulla.
il dubbio che ho è come devo considerare gli zeri sulla diagonale ovvero, sono elementi da considerare per il ker e quindi
dim ker = 6+ 4 = 10 ?
inoltre volevo sapere se qualcuno può confermarmi l'attendibilità di questa formula che ho trovato ma di cui non mi fido :
se A appartiene ad R(n) e f(a) = A - A(trasp) , allora dim Im = [n(n-1)] / 2 e dim ker = [n(n+1)]/2
spero di essere stato chiaro, grazie in anticipo.
Risposte
ciao!non ho capito cosa intendi per svolgere la funzione..
comunque io l'esercizio lo farei così (spero di averlo capito bene)
la tua f manda matrici 4x4 in matrici 4x4
quali sono le matrici 4x4 che vanno in 0 tramite f?
$f(A)=A^t-A=0 hArr A^t=A$
quindi $ker(f)={A in RR^(4x4) t.c. A \text{è simmetrica}}$
che dimensione ha questo sottospazio? se ti è più facile pensa a come sono fatte queste matrici e a una base per questo sottospazio..
comunque io l'esercizio lo farei così (spero di averlo capito bene)
la tua f manda matrici 4x4 in matrici 4x4
quali sono le matrici 4x4 che vanno in 0 tramite f?
$f(A)=A^t-A=0 hArr A^t=A$
quindi $ker(f)={A in RR^(4x4) t.c. A \text{è simmetrica}}$
che dimensione ha questo sottospazio? se ti è più facile pensa a come sono fatte queste matrici e a una base per questo sottospazio..
innanzi tutto grazie per l'aiuto, credo di aver capito cosa intendi ed effettivamente è molto più rapido, non avevo pensato che per trovare il ker bastava semplicemente ad uguagliare a zero la funzione.
in questo modo la dimensione di una base che mi genera lo spazio delle matrici 4*4 simmetriche sarebbe 10 (4 elementi sulla diagonale + 6 simmetrici), che dovrebbe essere il ker della mia funzione e quindi la dimensione dell'immagine è 6. se non mi sbaglio allora le formule che ho trovato ma di cui non mi fidavo sembrerebbero giuste. ne sai niente?
grazie ancora
in questo modo la dimensione di una base che mi genera lo spazio delle matrici 4*4 simmetriche sarebbe 10 (4 elementi sulla diagonale + 6 simmetrici), che dovrebbe essere il ker della mia funzione e quindi la dimensione dell'immagine è 6. se non mi sbaglio allora le formule che ho trovato ma di cui non mi fidavo sembrerebbero giuste. ne sai niente?
grazie ancora
si esatto intendevo proprio questo
le formule se non ricordo male sono giuste,al momento non mi ricordo il procedimento esatto per ricavarle,ma si basa su una generalizzazione del metodo che hai appesa usato...cioè praticamente conti le entrate della matrice che puoi scegliere liberamente mantenendola simmetrica,non so se mi sono spiegata
le formule se non ricordo male sono giuste,al momento non mi ricordo il procedimento esatto per ricavarle,ma si basa su una generalizzazione del metodo che hai appesa usato...cioè praticamente conti le entrate della matrice che puoi scegliere liberamente mantenendola simmetrica,non so se mi sono spiegata
tutto chiaro, grazie mille ancora!
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