Esercizio numeri complessi e endomorfismo
Ciao, non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio (riporto il testo pari pari):
"Sia $ P(x) ∈ R[x] $ il polinomio caratteristico di un endomorfismo $f : R3 → R3$ di $R3$. Sapendo che f
non è un isomorfismo, e che $2 + i$ è una soluzione dell’equazione $P(x) = 0$, si determini $P(x)$ e si
dica se f è diagonalizzabile su $R$."
Ho pensato che se $2+i$ è soluzione allora è autovalore. Non ho idea di come procedere oltre.
Attendo suggerimenti o illuminazioni,
grazie!
"Sia $ P(x) ∈ R[x] $ il polinomio caratteristico di un endomorfismo $f : R3 → R3$ di $R3$. Sapendo che f
non è un isomorfismo, e che $2 + i$ è una soluzione dell’equazione $P(x) = 0$, si determini $P(x)$ e si
dica se f è diagonalizzabile su $R$."
Ho pensato che se $2+i$ è soluzione allora è autovalore. Non ho idea di come procedere oltre.
Attendo suggerimenti o illuminazioni,
grazie!
Risposte
Rispondi alle seguenti domande:
1) che grado ha il polinomio caratteristico?
2) se un'equazione a coefficienti reali ha come soluzione un numero complesso $a+ib$ allora quale altra soluzione deve ammettere necessariamente?
3) visto che l'endomorfismo non è un isomorfismo, la matrice che lo rappresenta che rango deve avere?
4) Essendo chiare le 3 cose precedenti, e considerando che se conosci gli autovalori del polinomio caratteristico puoi scrivere la matrice che rappresenta l'endomorfismo in forma diagonale, come sarà fatta tale matrice?
1) che grado ha il polinomio caratteristico?
2) se un'equazione a coefficienti reali ha come soluzione un numero complesso $a+ib$ allora quale altra soluzione deve ammettere necessariamente?
3) visto che l'endomorfismo non è un isomorfismo, la matrice che lo rappresenta che rango deve avere?
4) Essendo chiare le 3 cose precedenti, e considerando che se conosci gli autovalori del polinomio caratteristico puoi scrivere la matrice che rappresenta l'endomorfismo in forma diagonale, come sarà fatta tale matrice?
Ci provo:
1) il polinomio caratteristico dovrebbe avere grado 3, perché una matrice quadrata di ordine n ha polinomio caratteristico di grado 3.
2) l'altra soluzione è $a-ib$, quindi nell'esercizio $2-i$.
3) Non essendo isomorfismo non è invertibile e quindi non ha rango massimo. Dovrebbe avere rango 2.
4) La matrice dell'endomorfismo avrà quindi sulla diagonale $2+i$, $2-i$ e $0$. Ma $f$ non dovrebbe avere coefficienti reali? Inoltre avrei come polinomio caratteristico $P(x)=(2+i-x)(2-i-x)(-x)$ che ha coefficienti nei complessi.
1) il polinomio caratteristico dovrebbe avere grado 3, perché una matrice quadrata di ordine n ha polinomio caratteristico di grado 3.
2) l'altra soluzione è $a-ib$, quindi nell'esercizio $2-i$.
3) Non essendo isomorfismo non è invertibile e quindi non ha rango massimo. Dovrebbe avere rango 2.
4) La matrice dell'endomorfismo avrà quindi sulla diagonale $2+i$, $2-i$ e $0$. Ma $f$ non dovrebbe avere coefficienti reali? Inoltre avrei come polinomio caratteristico $P(x)=(2+i-x)(2-i-x)(-x)$ che ha coefficienti nei complessi.
Ricorda che una matrice si può scrivere in più modi attraverso le diagonalizzazioni, se essa non ha rango massimo. Se quelli che hai scritto sono gli autovalori, allora il polinomio caratteristico è il seguente
$$P(x)=-x(5-x^2)=x^3-5x$$
non ti pare? Per cui quello che ti basta fare è scrivere una matrice, con sulla diagonale elementi reali, che abbia quello che ho scritto come polinomio caratteristico. Ovviamente, a causa della non diagonalizzabilità, quello che dovrai fare è scrivere una forma canonica di Jordan per tale matrice.
$$P(x)=-x(5-x^2)=x^3-5x$$
non ti pare? Per cui quello che ti basta fare è scrivere una matrice, con sulla diagonale elementi reali, che abbia quello che ho scritto come polinomio caratteristico. Ovviamente, a causa della non diagonalizzabilità, quello che dovrai fare è scrivere una forma canonica di Jordan per tale matrice.
"ciampax":
$P(x)=−x(5−x^2)=x^3−5x$
l'hai ottenuto semplicemente svolgendo $P(x)=(2+i−x)(2−i−x)(−x)$? A me viene diverso: $P(x)=-x^3+4x^2-5x$, l'ho provato a rifare ma non vedo dove sbaglio.
"ciampax":
Ovviamente, a causa della non diagonalizzabilità, quello che dovrai fare è scrivere una forma canonica di Jordan per tale matrice.
Jordan non l'abbiamo studiato. C'è un altro modo per capire se è diagonalizzabile? Cioè, applicando il teorema spettrale, capire se è simmetrica?
Grazie,
Ps: si tratta dell'ultimo esercizio di un appello che ho fatto, che solitamente è più complesso degli altri esercizi standard
Sì, scusa, stavo a fare il calcolo come se fossero immaginari puri. Ok, visto e considerato che hai quel polinomio caratteristico, riesci a scrivere una matrice che ti permetta di ottenerlo? Se non avete usato Jordan, non è un problema. Basta pensare se riesci a scrivere la matrice che ti serve in un blocco quadrato 2x2 e il resto fatto di zeri.
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