Dimostrazione matrici simili

[lallir]

Salve a tutti,
Come faccio a dimostrare che due matrici, non diagonalizzabili, sono simili?
Ad esempio

$ A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 4 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $
$ B=( ( 1 , 4 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 2 , 3 , 1 ) ) $

Dopo aver verificato che la condizione necessaria (avere lo stesso polinomio caratteristico) è soddisfatta come devo procedere? Come utilizzo la definizione?

Grazie!

[Sk_Anonymous]

La condizione necessaria e sufficiente perché due matrici ( quadrate, dello stesso ordine n, non necessariamente diagonalizzabili) siano simili è che abbiamo lo stesso polinomio caratteristico ( e quindi i medesimi autovalori $lambda_1,lambda_2,...lambda_r$ ) e che per ciascuno degli autovalori $lambda_i$ risulti :
$rank[A-lambda_i cdot I]=rank[B-lambda_i cdot I],i=1,2,...r$

[lallir]

Grazie per la risposta ma la condizione è solamente necessaria
Controesempio:
$ A=( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
$ B=( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Le due matrici hanno stesso polinomio caratteristico $ lambda ^4 $
E per $ lambda=0 $ hanno stessa molteplicità algebrica e geometrica
Ma le matrici non sono simili perché $ A^2=O_4 $ a differenza di B.
Quindi ci sono condizioni necessarie e sufficienti per la similitudine di due matrici?
Come va applicata la definizione?
Grazie ancora

[Sk_Anonymous]

E' strano... Vedi http://www.cremona.polimi.it/dispense/vannozzi/esercitazioni/analisi_a/materiale/MATRICI_SIMILI_DIAGONALI.pdf
Tra l'altro sono riuscito a trovare una matrice P invertibile ( una delle tante possibili ) tale da soddisfare la condizione richiesta dalla similitudine tra matrici : $A=P^{-1 }B P$
Precisamente :
$P=((0,1,4),(0,0,5),(1,2,3))$