Piano osculatore
Ciao,
scusate ho posato male la domanda, per calcolarmi il piano osculatore senza usare il versore tangente, e binormale ho bisogno del punto dove voglio calcolarmi il piano, la derivata prima e seconda in quel punto(che sono dei vettori), una volta calcolati come si procede per calcolare il piano osculatore?
scusate ho posato male la domanda, per calcolarmi il piano osculatore senza usare il versore tangente, e binormale ho bisogno del punto dove voglio calcolarmi il piano, la derivata prima e seconda in quel punto(che sono dei vettori), una volta calcolati come si procede per calcolare il piano osculatore?
Risposte
Le equazioni parametriche del piano osculatore sono del tipo :
$P(t)=P(t_o)+P'(t_o)u+P''(t_o)v$
Proiettando la formula (in effetti non è una formula ma l'espressione di un vettore) sugli assi cartesiani si hanno le equazioni esplicite del piano osculatore :
\(\displaystyle \begin{cases} x(t)=x(t_o)+u\cdot x'(t_o)+v \cdot x''(t_o) \\y(t)=y(t_o)+u\cdot y'(t_o)+v \cdot y''(t_o)\\z(t)=x(t_o)+u\cdot z'(t_o)+v \cdot z''(t_o)\end{cases} \)
Eliminando i parametri $u,v$ si ottiene l'equazione cartesiana del piano osculatore.
Esempio:
$P(t)=(t,t^2,t^3),t_o=1,P(t_o)=(1,1,1)$
$P'(t)=(1,2t,3t^2),P'(t_o)=(1,2,3)$
$P''(t)=(0,2,6t),P''(t_o)=(0,2,6)$
Quindi le equazioni parametriche del piano osculatore sono :
\(\displaystyle \begin{cases} x=1+u \cdot 1+v \cdot 0 \\ y=1+u \cdot 2+v \cdot 2 \\ z=1+u \cdot 3+v \cdot 6 \end{cases} \)
Eliminando u e v si ha :
$3x-3y+z-1=0$
che è l'equazione cartesiana del piano suddetto.
C'è anche un'altra formula che si rifà al determinante di una certa matrice ma è equivalente.
$P(t)=P(t_o)+P'(t_o)u+P''(t_o)v$
Proiettando la formula (in effetti non è una formula ma l'espressione di un vettore) sugli assi cartesiani si hanno le equazioni esplicite del piano osculatore :
\(\displaystyle \begin{cases} x(t)=x(t_o)+u\cdot x'(t_o)+v \cdot x''(t_o) \\y(t)=y(t_o)+u\cdot y'(t_o)+v \cdot y''(t_o)\\z(t)=x(t_o)+u\cdot z'(t_o)+v \cdot z''(t_o)\end{cases} \)
Eliminando i parametri $u,v$ si ottiene l'equazione cartesiana del piano osculatore.
Esempio:
$P(t)=(t,t^2,t^3),t_o=1,P(t_o)=(1,1,1)$
$P'(t)=(1,2t,3t^2),P'(t_o)=(1,2,3)$
$P''(t)=(0,2,6t),P''(t_o)=(0,2,6)$
Quindi le equazioni parametriche del piano osculatore sono :
\(\displaystyle \begin{cases} x=1+u \cdot 1+v \cdot 0 \\ y=1+u \cdot 2+v \cdot 2 \\ z=1+u \cdot 3+v \cdot 6 \end{cases} \)
Eliminando u e v si ha :
$3x-3y+z-1=0$
che è l'equazione cartesiana del piano suddetto.
C'è anche un'altra formula che si rifà al determinante di una certa matrice ma è equivalente.
quindi calcolarsi il piano osculatore equivale a calcolarsi il piano per due vettori e un punto?
$P(t)=(t,t^2 ,t^3 ),t_o =1,P(t_o )=(1,1,1) $
$P'(t) = (1,2t,3t^2) P'(1) = (1,2,3)$
$P''(t) = (0,2,6t) P'(1) = (0,2,6)$
$det((x-1,y-1,z-1),(1,2,3),(0,2,6)) = 0$ oppure devo imporre il prodotto misto uguale a zero? cioè $(P(t) -P(1))x P'(1)*P''(1)= 0$
$P(t)=(t,t^2 ,t^3 ),t_o =1,P(t_o )=(1,1,1) $
$P'(t) = (1,2t,3t^2) P'(1) = (1,2,3)$
$P''(t) = (0,2,6t) P'(1) = (0,2,6)$
$det((x-1,y-1,z-1),(1,2,3),(0,2,6)) = 0$ oppure devo imporre il prodotto misto uguale a zero? cioè $(P(t) -P(1))x P'(1)*P''(1)= 0$
Sono tutti metodi equivalenti e portano al medesimo risultato. Devi solo scegliere...
grazie mille 
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