Dimensione Autospazi.

[Bacchinif]

Insorge un dubbio.
Io so che la somma delle dimensioni di tutti gli Autospazi ammessi nel dominio ( Spazio Vettoriale ) di una qualsivoglia funzione è uguale alla dimensione del dominio stesso se l'endomorfismo è diagonalizzabile.

- la condizione di sopra è sufficiente o anche necessaria ? Cioè, immaginiamo che ho una funzione da R^3 in R^3 ( endomorfismo ) in cui l'asse delle x è il mio autospazio di dimensione 1 e poi ho un altro autospazio che è un piano, ma non yz, bensì un altro piano passante semplicemente per l'origine. In questo caso i due autospazi si intersecano solo nell'origine come deve essere e chiaramente ho che la somma delle loro dimensioni è 3 come deve essere. Ma questo endomorfismo ad occhio e croce non è diagonalizzabile perché non è possibile prendere una base di autovettori ( dato che gli autovettori del piano stanno posizionati secondo l'inclinazione di tale piano generico ).

-è necessario prendere un endomorfismo ? se volessi fare questa dissertazione sulla somma delle dimensioni degli autospazi è necessario che vado da R^n in R^n ?

Preferirei avere spiegazioni teoriche e non tanto dimostrazioni
Grazie in anticipo

[gugo82]

"Bacchinif":Insorge un dubbio.
Io so che la somma delle dimensioni di tutti gli Autospazi ammessi nel dominio ( Spazio Vettoriale ) di una qualsivoglia funzione è uguale alla dimensione del dominio stesso se l'endomorfismo è diagonalizzabile.

- la condizione di sopra è sufficiente o anche necessaria ? Cioè, immaginiamo che ho una funzione da R^3 in R^3 ( endomorfismo ) in cui l'asse delle x è il mio autospazio di dimensione 1 e poi ho un altro autospazio che è un piano, ma non yz, bensì un altro piano passante semplicemente per l'origine. In questo caso i due autospazi si intersecano solo nell'origine come deve essere e chiaramente ho che la somma delle loro dimensioni è 3 come deve essere. Ma questo endomorfismo ad occhio e croce non è diagonalizzabile perché non è possibile prendere una base di autovettori ( dato che gli autovettori del piano stanno posizionati secondo l'inclinazione di tale piano generico ).

Ma i vettori appartenenti ad una base formata da autovettori (o, come si dice, i vettori di una base diagonalizzante) non sono tenuti ad essere ortogonali; basta che essi siano linearmente indipendenti.
Affinché ciò accada in \(\mathbb{R}^3\), come ben saprai, basta che i tre vettori non appartengano contemporaneamente allo stesso piano e ciò, nella situazione che hai descritto, di sicuro non accade.
Quindi, di che ti preoccupi?

Per quel che riguarda la condizione di diagonalizzabilità, essa è necessaria e sufficiente.

Infatti, detti \(V_1,\ldots ,V_p\) gli autospazi distinti associati agli autovalori distinti \(\lambda_1,\ldots ,\lambda_p\) di un endomorfismo \(f:\mathbb{V}\to \mathbb{V}\), se \(\mathbb{V} = \bigoplus_{i=1}^p V_i\) allora si può scegliere una base di \(\mathbb{V}\) fatta da autovettori; rispetto a tale base, la matrice di \(f\) è necessariamente diagonale, perciò \(f\) è diagonalizzabile. Ciò dimostra che vale l'implicazione \(\mathbb{V} = \bigoplus_{i=1}^p V_i\ \Rightarrow\ f \text{ è diagonalizzabile}\).

D'altra parte, se \(f\) è diagonalizzabile, esiste una base \(B=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\ldots ,\mathbf{u}_n\}\) di \(\mathbb{V}\) rispetto alla quale la matrice di \(f\) è diagonale. Facendo un conticino, si vede che ogni vettore della base \(B\) è un autovettore di \(f\); dunque, se ordini gli elementi della base in modo da tenere vicini gli autovettori relativi allo stesso autovalore, hai certamente:
\[
\mathbb{V} = \mathcal{L}(\mathbf{u}_1,\ldots ,\mathbf{u}_{m_1}) \oplus \mathcal{L} (\mathbf{u}_{m_1 +1},\ldots ,\mathbf{u}_{m_1+m_2})\oplus \cdots \oplus \mathcal{L} (\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1},\ldots ,\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p})
\]
per opportuni numeri naturali \(m_1,m_2,\ldots,m_{p-1},m_p\) tali che \(m_1+m_2+\cdots +m_{p-1}+m_p=n\) (qui \(\mathcal{L}(\cdot)\) denota il "sottospazio generato da").
Ti rimane da far vedere che gli addendi che figurano al secondo membro sono gli autospazi associati allo stesso autovalore cui sono associati i rispettivi autovettori; ma ciò è facile: infatti se \(\mathbf{v} \in \mathcal{L} (\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +1},\ldots ,\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +m_i})\) per \(i=1,2,\ldots ,p\) hai:
\[
\mathbf{v} = \alpha_1\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1} + \alpha_2 \ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2} + \cdots + \alpha_{m_p}\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p}
\]
per opportuni scalari e dunque:
\[
\begin{split}
f(\mathbf{v}) &= f(\alpha_1\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1} + \alpha_2 \ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2} + \cdots + \alpha_{m_p}\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p})\\
&= f(\alpha_1\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1}) + f(\alpha_2 \ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2}) + \cdots + f(\alpha_{m_p}\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p})\\
&= \alpha_1\ f(\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1}) + \alpha_2 \ f(\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2}) + \cdots + \alpha_{m_p}\ f(\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p})\\
&= \alpha_1\ \lambda_i\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1} + \alpha_2 \ \lambda_i\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2} + \cdots + \alpha_{m_p}\ \lambda_i\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p}\\
&= \lambda_i\ \left( \alpha_1\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +1} + \alpha_2 \ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +2} + \cdots + \alpha_{m_p}\ \mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{p-1} +m_p}\right)\\
&= \lambda_i\ \mathbf{v}
\end{split}
\]
sicché \(\mathbf{v}\) è un autovettore relativo a \(\lambda_i\); quindi \(\mathcal{L} (\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +1},\ldots ,\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +m_i}) \subseteq V_i\). Perciò, hai:
\[
\mathbb{V} = \bigoplus_{i=1}^p \mathcal{L} (\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +1},\ldots ,\mathbf{u}_{m_1+m_2+\cdots +m_{i-1} +m_i}) \subseteq \bigoplus_{i=1}^p V_i \subseteq \mathbb{V}
\]
e dunque \(\mathbb{V}\) è somma diretta degli autospazi. Quindi vale l'implicazione \(f \text{ è diagonalizzabile}\ \Rightarrow\ \mathbb{V}=\bigoplus_{i=1}^p V_p\).

"Bacchinif":-è necessario prendere un endomorfismo ? se volessi fare questa dissertazione sulla somma delle dimensioni degli autospazi è necessario che vado da R^n in R^n ?

Il problema è che per parlare di autospazi c'è bisogno di definire il concetto di autovettore e, come saprai, un autovettore di \(f\) è un vettore che soddisfa l'uguaglianza \(f(\mathbf{v}) =\lambda\ \mathbf{v}\) per un opportuno scalare \(\lambda\). Affinché una tale uguaglianza sia possibile c'è senza dubbio bisogno che \(f\) prenda valori nello stesso spazio vettoriale \(\mathbb{V}\) in cui è definita (perché, essendo \(\mathbf{v}\in \mathbb{V}\), si ha anche \(\lambda\ \mathbf{v}\in \mathbb{V}\) e dunque se \(f(\mathbb{v})\) appartenesse ad un altro spazio \(\mathbb{W}\), l'uguaglianza \(f(\mathbf{v}) = \lambda\ \mathbf{v}\) sarebbe priva di qualsiasi senso). Perciò è il concetto di autovettore ad essere definibile (e definito) unicamente per gli endomorfismi di uno spazio vettoriale.
Ciò, conseguentemente, causa il fatto che il concetto di autospazio è definito (e definibile in maniera sensata) unicamente per gli endomorfismi.

[Bacchinif]

Grazie. Mi era sfuggito il "piccolo" dettaglio della indipendenza per quanto concerne il mio primo dubbio. In pillole :
"la somma delle dimensioni degli autospazi ammessi nel dominio è uguale alla dimensione del dominio stesso se e solo se da tutti gli autospazi posso estrarre una base del dominio-> esiste una base spettrale->la funzione è diagonalizzabile".
Confermi quindi che la condizione è se e solo se. Cioè non è necessario che i vettori della base spettrale siano tra loro ortogonali e quindi appartenenti agli assi coordinati.


grazie anche per il mio secondo dubbio, che è stato decisamente una svista.

[Bacchinif]

Secondo voi è corretta come definizione ?

“la somma delle dimensioni di tutti gli Autospazi contenuti nel Dominio è la dimensione del Dominio stesso se e solo se all’Endomorfismo associo una matrice diagonale”.

Oppure dovrei aggiungere "posso associare" al posto di "associo" ? Cioè questo è sicuramente vero nel caso in cui cerco la matrice associata alla funzione rispetto alla Base Spettrale; ma è vero sempre ?

[gugo82]

Intanto, ho modificato il post precedente includendo una dimostrazione della condizione necessaria e sufficiente.
Leggila, se vuoi.

"Bacchinif":Grazie. Mi era sfuggito il "piccolo" dettaglio della indipendenza per quanto concerne il mio primo dubbio. In pillole :
"la somma delle dimensioni degli autospazi ammessi nel dominio è uguale alla dimensione del dominio stesso se e solo se da tutti gli autospazi posso estrarre una base del dominio-> esiste una base spettrale->la funzione è diagonalizzabile".
Confermi quindi che la condizione è se e solo se.

Yes.

"Bacchinif":Cioè non è necessario che i vettori della base spettrale siano tra loro ortogonali e quindi appartenenti agli assi coordinati.

Occhio... Il fatto che tre vettori siano tra loro ortogonali non significa che appartengano agli assi coordinati.
Ad esempio, i tre vettori:
\[
\mathbf{v}_1 = (1,1,1),\ \mathbf{v}_2 = (1,-1,0),\ \mathbf{v}_3 = (1,1,-2)
\]
sono ortogonali, ma non appartengono agli assi (che immagino tu pensi sempre e comunque diretti lungo le direzioni degli elementi della base canonica, come fanno tutti quelli alle prime armi ).

Quello che però sicuramente puoi dire è che puoi usare gli elementi di una terna ortogonale (e.g., \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\)) per istituire un sistema di assi cartesiani ortogonali nello spazio; in altre parole, puoi sempre sceglierti gli assi in modo che i vettori della terna giacciano lungo di essi.

"Bacchinif":Secondo voi è corretta come definizione ?

“la somma delle dimensioni di tutti gli Autospazi contenuti nel Dominio è la dimensione del Dominio stesso se e solo se all’Endomorfismo associo una matrice diagonale”.

Oppure dovrei aggiungere "posso associare" al posto di "associo" ? Cioè questo è sicuramente vero nel caso in cui cerco la matrice associata alla funzione rispetto alla Base Spettrale; ma è vero sempre ?

"Posso associare" è certamente meglio.
E, ad ogni buon conto, questo pare più un teorema che non una definizione.

[Bacchinif]

Grazie, mi è sicuramente più chiaro.

In effetti è sicuramente un teorema.

[Bacchinif]

Come faccio ad inserire testi scritti in LyX ?