Determinare Forma Canonica di una Conica
Chi mi può aiutare grazie mille 
Data la conica ∂ = 4x^2+7y^2+4xy-2√(6)y+1 chi mi aiuta ad portarla alla forma canonica, vi sarei molto grato se allegaste i passaggi
Data la conica ∂ = 4x^2+7y^2+4xy-2√(6)y+1 chi mi aiuta ad portarla alla forma canonica, vi sarei molto grato se allegaste i passaggi
Risposte
"asbanko":
Chi mi può aiutare grazie mille
Data la conica ∂ = 4x^2+7y^2+4xy-2√(6)y+1 chi mi aiuta ad portarla alla forma canonica, vi sarei molto grato se allegaste i passaggi
Ciao! Benvenuto nel forum!
Il metodo per ridurre la conica a forma canonica si compone di vari steps.
1) Devi scrivere la matrice $A$ di dimensioni $3 \times 3$ associata alla conica.
[Studiando questa matrice capisci anche di che tipo di conica si tratta..] e la sua parte principale $Q$.
2) Devi diagonalizzare la forma quadratica del gruppo omogeneo di secondo grado la cui matrice è $Q$, ovvero devi arrivare a scrivere $D=M^{t}QM$.
3) ...
Prova a fare i conti relativi ai due passaggi precedenti, poi andiamo avanti!
allora A = $ |{: ( 4 , 2 , 0 ),( 2 , 7 , √6 ),( 0 , √6 , 1 ) :}| $ e Q = $ | ( 4 , 2 ),( 2 , 7 ) | $
Studiando il det(A) che scopro essere = 0 denoto che è una conica degenere e poi facendo il set(Q) vedo che è un'ellisse quindi la conica ∂ è un elisse degenere
Per diagonalizzare la forma quadratica calcolo gli autovalori di Q per poi calcolare gli autospazi $ | ( 4-x , 2 ),( 2 , 7-x ) | $ e trovo λ = 3 e µ = 8 ora dovrei calcolare gli autospazi E(λ) = x+2y=0 E(µ) = 2x-y=0 .. pero la cosa che non ho mai capito come scrivere la matrice di passaggio ( M ) io avrei scritto direttamente D = $ {: ( 3 , 0 ),( 0 , 8 ) :} $ ma credo che sia sbagliato
Studiando il det(A) che scopro essere = 0 denoto che è una conica degenere e poi facendo il set(Q) vedo che è un'ellisse quindi la conica ∂ è un elisse degenere
Per diagonalizzare la forma quadratica calcolo gli autovalori di Q per poi calcolare gli autospazi $ | ( 4-x , 2 ),( 2 , 7-x ) | $ e trovo λ = 3 e µ = 8 ora dovrei calcolare gli autospazi E(λ) = x+2y=0 E(µ) = 2x-y=0 .. pero la cosa che non ho mai capito come scrivere la matrice di passaggio ( M ) io avrei scritto direttamente D = $ {: ( 3 , 0 ),( 0 , 8 ) :} $ ma credo che sia sbagliato
La matrice di passaggio serve appunto per diagonalizzare, cioè per poter scrivere $M^{t}DM=Q$ dove come hai scritto giustamente tu, la matrice diagonale è $D$.
Nel nostro caso:
$M=((-2,1),(1,2)) \quad Q=((3,0),(0,8))$
Il metodo per ricavare la matrice $M$ esula dall'argomento del topic, però puoi guardarti il topic in evidenza nella sezione di geometria che si intitola "Algebra Lineare for Dummies", è molto istruttivo.
Passiamo ora al terzo step: considero la seguente trasformazione di coordinate: $(x,y)^{t}=M(x^{'},y^{'})^{t}$ e sostituisco nella conica le nuove coordinate trovate $(x_i^{'}),$ al posto delle vecchie ($x_i$).
Se sono giusti i conti, il termine misto dovrebbe andare via.
Nel nostro caso:
$M=((-2,1),(1,2)) \quad Q=((3,0),(0,8))$
Il metodo per ricavare la matrice $M$ esula dall'argomento del topic, però puoi guardarti il topic in evidenza nella sezione di geometria che si intitola "Algebra Lineare for Dummies", è molto istruttivo.
Passiamo ora al terzo step: considero la seguente trasformazione di coordinate: $(x,y)^{t}=M(x^{'},y^{'})^{t}$ e sostituisco nella conica le nuove coordinate trovate $(x_i^{'}),$ al posto delle vecchie ($x_i$).
Se sono giusti i conti, il termine misto dovrebbe andare via.
Trasformazioni di coordinate : $ ( ( x ),( y ) ) = M ( ( x' ),( y' ) ) +( ( xo ),( yo ) ) rarr M ( ( m11 , m12 ),( m21 , m22 ) ) $ e $ { ( x = m11x' + m12y' ),( y = m21x'+m22y' ):} $ quindi $ { ( x = -2x'+y' ),( y = x'+2y' ):} $ e allora mi viene $ 4(-2x'+y')^2+7(x'+2y')^2+4(-2x'+y')(x'+2y')-2 sqrt(6)(x'+2y') $ e semplificando $ -2 sqrt(6) x+15 x^2-4 sqrt(6) y+40 y^2 $ è giusto così ?
mi sta venendo un dubbio non e che prima devo normalizzarli ? con M $ 1/sqrt5( ( -2 , 1 ),( 1 , 2 ) ) $ e poi fare la sostituzione $ { ( x = 1/ sqrt5(-2x'+y') ),( y = 1/ sqrt5 (x'+2y') ):} $ metto nella conica
$ 4(-2/sqrt5x+1/sqrt5y)^2+7(1/sqrt5x+2/sqrt5y)^2+4(-2/sqrt5x+1/sqrt5y)(1/sqrt5x+2/sqrt5y)-2sqrt(6)(1/sqrt5x+2/sqrt5y) $
e semplificando mi viene
$ (-2 sqrt(6) x+3 sqrt(5) x^2-4 sqrt(6) y+8 sqrt(5) y^2)/sqrt(5) $
$ 4(-2/sqrt5x+1/sqrt5y)^2+7(1/sqrt5x+2/sqrt5y)^2+4(-2/sqrt5x+1/sqrt5y)(1/sqrt5x+2/sqrt5y)-2sqrt(6)(1/sqrt5x+2/sqrt5y) $
e semplificando mi viene
$ (-2 sqrt(6) x+3 sqrt(5) x^2-4 sqrt(6) y+8 sqrt(5) y^2)/sqrt(5) $
Ok!! Adesso ti rimane solo da completare i quadrati.
completamento dei quadrati $ 3x^2-2 xsqrt(6/5) +8y^2-4y sqrt(6/5) $
$ 3(x^2-2/3xsqrt(6/5)+2/15) $ quindi dovrò togliere 2/5
$ 8(y^2 -1/2ysqrt(6/5)+3/40) $ quindi dovrò togliere 3/5
alla fine mettendo tutto mi viene $ 3(x-1/3sqrt(6/5))^2 +8 (y-1/4sqrt(6/5))^2 = 1 $
però mi sembra strano perchè se è un ellisse degenere il temine noto non dovrebbe essere 0 ?
$ 3(x^2-2/3xsqrt(6/5)+2/15) $ quindi dovrò togliere 2/5
$ 8(y^2 -1/2ysqrt(6/5)+3/40) $ quindi dovrò togliere 3/5
alla fine mettendo tutto mi viene $ 3(x-1/3sqrt(6/5))^2 +8 (y-1/4sqrt(6/5))^2 = 1 $
però mi sembra strano perchè se è un ellisse degenere il temine noto non dovrebbe essere 0 ?
comunque sicuramente c'è un errore da qualche parte ma ho scoperto che grazie a due teoremi cioè "Teorema di riduzione in forma canonica " e "Teorema di invarianza" si risolve il tutto con pochissimi passaggi
Teorema di riduzione in forma canonica : sia C una conica che, nel riferimento (O;x;y), ha equazione ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 e siano ß e µ gli autovalori della parte principale Q. Allora possiamo trovare un riferimento (O';X;Y) e numeri reali p,q,r tali che l'equazione di C assume una delle seguenti forme dette forme canoniche .
se |Q|≠ 0 ßX^2+µY^2+p=0
Teorema di Invarianza : Il determinate della matrice canonica non cambia nel passaggio da R a R' quindi det(A)=det(A') si ha inoltre rkA=rkA' e det(Q)=det(Q') e Tr(Q)=Tr(Q) Diremo anche che il determintante di A e invariante per cambiamenti di coordinate. Altri invarianti sono quindi: il rango di a il determinate di e la traccia della parte principale di Q .
Quindi per risolverlo bastava calcolarsi gli autovalori di Q che sono 3 e 8 quindi equazione sarà 3X^2+8Y^2+p=0 per trovarmi p uso il teorema dell'invarinza e denoto che p = 0 perchè $ | ( 3 , 0 , 0 ),( 0 , 8 , 0 ),( 0 , 0 , p ) | $ che risulta 24p=det(A) quindi p=0 e la soluzione risulta $ 3X^2+8Y^2=0 $
Grazie dell'aiuto
Teorema di riduzione in forma canonica : sia C una conica che, nel riferimento (O;x;y), ha equazione ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0 e siano ß e µ gli autovalori della parte principale Q. Allora possiamo trovare un riferimento (O';X;Y) e numeri reali p,q,r tali che l'equazione di C assume una delle seguenti forme dette forme canoniche .
se |Q|≠ 0 ßX^2+µY^2+p=0
Teorema di Invarianza : Il determinate della matrice canonica non cambia nel passaggio da R a R' quindi det(A)=det(A') si ha inoltre rkA=rkA' e det(Q)=det(Q') e Tr(Q)=Tr(Q) Diremo anche che il determintante di A e invariante per cambiamenti di coordinate. Altri invarianti sono quindi: il rango di a il determinate di e la traccia della parte principale di Q .
Quindi per risolverlo bastava calcolarsi gli autovalori di Q che sono 3 e 8 quindi equazione sarà 3X^2+8Y^2+p=0 per trovarmi p uso il teorema dell'invarinza e denoto che p = 0 perchè $ | ( 3 , 0 , 0 ),( 0 , 8 , 0 ),( 0 , 0 , p ) | $ che risulta 24p=det(A) quindi p=0 e la soluzione risulta $ 3X^2+8Y^2=0 $
Grazie dell'aiuto
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