Vettori linearmente indipendenti in \( \mathbb{R} \) lo sono anche in \( \mathbb{C} \)

[giuscri]

Sia
\[ \mathcal{S} := \{ A^1, \ldots, A^n\} \]
un set di vettori linearmente indipendenti di \( \mathbb{R}^m \) --spazio vettoriale sul campo dei reali. Allora se invece di prendere scalari reali li prendessi complessi, cioe' se \( \mathbb{R}^m \) fosse in verita' uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi, allora i vettori in \( \mathcal{S} \) sarebbero ancora linearmente indipendenti?

Credo di si, ma non vorrei farla troppo semplice. D'altro canto se i vettori in \( \mathcal{S} \) sono linearmente indipendenti su \( \mathbb{R} \) si ha
\[ \alpha_1 A^1 + \ldots + \alpha_n A^n = \mathbf{0} \Rightarrow \forall i, \; \alpha_i = 0_\mathbb{R} \qquad (\star) \]
ma
\[ 0_\mathbb{R} \equiv 0_\mathbb{C} \]
quindi la relazione \((\star)\) puo' essere pensata
\[ \alpha_1 A^1 + \ldots + \alpha_n A^n = \mathbf{0} \Rightarrow \forall i, \; \alpha_i = 0_\mathbb{C} \qquad (\star) \]
da cui la tesi.

[G.Sciaguato]

Io direi semplicemente che l'indipendenza lineare su $CC$ segue dal fatto che $RR$ è un sottospazio vettoriale di $CC$.

[giuscri]

Mhn; vero. Ma non capisco in che modo possa sfruttare questo per verificare il lemma qui sopra.
Se
\[ A^i \in \mathbb{R} \]
ok; ma le \( A^i \) sono vettori colonna di \( \mathbb{R}^m \).

[Sk_Anonymous]

Se \(v_1, \dots, v_n \) sono vettori linearmente dipendenti su \(\mathbb{R}\), sappiamo che non esistono \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{R}\) t.c. (a meno di permutazioni) \(\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n =0\). Siano ora \(\beta_1=a_1 + i b_1, \dots, \beta_n=a_n + i b_n \in \mathbb{C}\), e consideriamo \[\beta_1 v_1 + \dots \beta_n v_n= a_1 v_1 + \dots a_n v_n + i (b_1 v_1 + \dots + b_n v_n)\]
E' chiaro come entrambe le componenti, reale ed immaginaria, siano non nulle per ipotesi. Ne discende la tesi.
Mi sembra una semplice riscrittura di quanto in OP, e mi sembra altresì funzionare.