Chiarimento sulle basi

[giuseppe921]

Ragazzi, ho bisogno di un chiarimento,
su "algebra lineare for dummies"

ho trovato questo
" se due vettori v1,v2 costituiscono una base, cambiando il loro ordine si ottiene una base diversa (ricordiamolo: una base è un insieme ordinato di vettori)."

cambiando l'ordine dei vettori della base,lo spazio generato non rimane lo stesso?

[garnak.olegovitc1]

@giuseppe92,

"giuseppe92":Ragazzi, ho bisogno di un chiarimento,
su "algebra lineare for dummies"

ho trovato questo
" se due vettori v1,v2 costituiscono una base, cambiando il loro ordine si ottiene una base diversa (ricordiamolo: una base è un insieme ordinato di vettori)."

cambiando l'ordine dei vettori della base,lo spazio generato non rimane lo stesso?

e in questo caso come indichi la base? Come un coppia (o: n-upla nel caso generale)?

Saluti

* : Vero è in effetti, lo spazio generato dai due vettori è lo stesso sia se prendi \(v_1,v_2\) in questo ordine, sia se prendi \( v_2,v_1 \) in questo ordine.. ovvero \( \mathcal{L}(v_1,v_2)=\mathcal{L}(v_2,v_1) \) CLIC (osservazione 4.21- PG 156)
Infatti penso che in questo caso, essendo una base un insieme di generatori linearmente indipendenti, giochi sulla lineare indipendenza... Spero di non sbagliarmi.. prova a fare alcune considerazioni su questo fatto!

[giuscri]

"giuseppe92":cambiando l'ordine dei vettori della base,lo spazio generato non rimane lo stesso??

Lo spazio generato rimane lo stesso anche se cambi proprio tutta la base. Ogni spazio vettoriale di dimensione \( d \) ha infiniti pacchetti di \( d \) vettori che funzionano da base --una volta il concetto di dimensione ti basta averne \( d \) liberi, e bona.

Quello su cui credo si ponga l'attenzione e' che gia'
\[ \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \ldots \} \neq \{ \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \ldots \} := \mathcal{B}' \]
Un accento di questo tipo e' probabilmente propedeutico al discorso delle matrici rappresentative di applicazioni; queste infatti devono essere costruite in una maniera precisa*: prendi il primo vettore della base dello spazio di partenza, prendi le coordinate della sua immagine rispetto alla base dello spazio di arrivo, mettile come prima colonna della matrice: l'ordinamento delle due basi (partenza&arrivo) conta.

Mi rendo conto di non essere stato particolarmente esaustivo, ma spero almeno di averti dato un'idea. Se hai perplessita, non esitare a scrivere ancora.

___
* Il motivo per cui la maniera e' quella qui sopra dovrebbe essere abbastanza evidente --a meno di foglietti di brutta riempiti di calcoletti-- dalla definizione di prodotto righe-per-colonne. Mi pare che tra l'altro Sergio sia abbastanza `pedante' (nel senso buono) sulla faccenda.

[garnak.olegovitc1]

@giuscri,

"giuscri":

Quello su cui credo si ponga l'attenzione e' che gia'
\[ \mathcal{B} = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \ldots \} \neq \{ \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \ldots \} := \mathcal{B}' \]

allora \( \mathcal{B} \) e \( \mathcal{B}' \) non sono insiemi?!..

Saluti

[giuscri]

"garnak.olegovitc":allora \( \mathcal{B} \) e \( \mathcal{B}' \) non sono insiemi?!..

E' una notazione un po' triste quella che ho usato sopra --i set sono raggruppamenti confusi di oggetti in effetti. Puoi scrivere le basi in maniera diverse, ad ogni modo se includi l'ordine come caratteristica della base hai
\[ \mathcal{B} \neq \mathcal{B}' \]
sebbene sia chiaro che
\[ \operatorname{span}(\mathcal{B}) \equiv \operatorname{span}(\mathcal{B'}) \]
Probabilmente un modo che preferirei sarebbe quello di scrivere le basi come tuple, ma davvero non ce n'e' bisogno.

Faccio notare che non c'e' nulla di male a pensare alle basi come insiemi di generatori liberi. La necessita' di considerare l'ordine in cui quei vettori sono elencati nasce quando si ha a che fare con funzioni che associano ai singoli vettori tuple ordinate delle coordinate rispetto alla base: tenendo le notazioni usate nel precedente post:
\[ \mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \ldots \stackrel{ F_\mathcal{B} }{\mapsto} \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \ldots \stackrel{ F_\mathcal{B'} }{\mapsto} \begin{bmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \\ \vdots \end{bmatrix} \]
quindi
\[ F_\mathcal{B} \neq F_\mathcal{B'} \]
uguaglianza che non puoi sostenere, a meno di non aggiungere l'ordine fra le caratteristiche della base.

Penso sia questa l'origine di quella precisazione raffinata.