Scrittura teorema: \( \exists ! f \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \) tale che...
Salve a tutti,
perdonatemi per il titolo ma non saprei come/cosa scrivere.. in sostanza ho il seguente teorema :
"Siano dati \(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \), \( \{e_1,e_2,...,e_n \} \) una base di \( E \), ed \( \{f_1,f_2,...,f_n \} \) una base di \( F \), ove \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \), allora \( |\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) implica \( \exists ! f \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \) t.c \( f(e_1)=f_1 \) e \(f(e_2)=f_2\) e ... e \(f(e_n) = f_m \)"
scritto da un mio ex docente... strano come è stato scritto il teorema (ammetto in verità che la scrittura mi affascina, sempre se è giusto ciò scritto, lo è vero?), in effetti potrei dire con certezza che \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \) significa \( \dim_K(E)=k \) e che \(|\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) significa, in tal caso, \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \).. giusto??... Se si.. è sufficiente che \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \)??
«se mi sbaglio mi corrigerete!»
, ma così, cioè in cui \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \), non ho appena detto che \( E \) ed \( F \) sono isomorfi tra loro?!!...
Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
perdonatemi per il titolo ma non saprei come/cosa scrivere.. in sostanza ho il seguente teorema :
"Siano dati \(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \), \( \{e_1,e_2,...,e_n \} \) una base di \( E \), ed \( \{f_1,f_2,...,f_n \} \) una base di \( F \), ove \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \), allora \( |\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) implica \( \exists ! f \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \) t.c \( f(e_1)=f_1 \) e \(f(e_2)=f_2\) e ... e \(f(e_n) = f_m \)"
scritto da un mio ex docente... strano come è stato scritto il teorema (ammetto in verità che la scrittura mi affascina, sempre se è giusto ciò scritto, lo è vero?), in effetti potrei dire con certezza che \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \) significa \( \dim_K(E)=k \) e che \(|\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) significa, in tal caso, \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \).. giusto??... Se si.. è sufficiente che \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \)??
«se mi sbaglio mi corrigerete!»
, ma così, cioè in cui \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \), non ho appena detto che \( E \) ed \( F \) sono isomorfi tra loro?!!...Ringrazio anticipatamente!
Cordiali saluti
Risposte
Che pedanterìa... in breve hai pesantemente scritto il teorema fondamentale delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali su un medesimo campo!
Il resto delle considerazioni mi sembrano corrette (ho letto di corsa...)
A presto Garnak,
salut!
Il resto delle considerazioni mi sembrano corrette (ho letto di corsa...)
A presto Garnak,
salut!
Do i miei 2cents:
Riprendendo un po' Armando ...davvero c'e' bisogno di scrivere tutta questa roba? A parte che faccio notare che l'operazione di cui e' dotata lo spazio vettoriale \( E \) e' \( \cdot_K \) --e' il prodotto esterno, il prodotto per elementi del campo. Ma comunque se \( E \) e' uno spazio vettoriale per definizione dev'essere dotato di un'operazione somma fra vettori e prodotto per scalare. Quindi, potresti semplicemente scrivere
Anche qui potevi sfoltire parecchio:
Ma poi se
\[ \# \{ f_i \}_{i = 1}^m \equiv \# \{ e_i \}_{i = 1}^n \equiv k \]
allora, o le due basi sono indicizzate un po' a caso oppure
\[ m \equiv n \equiv k \]
E' sufficiente per cosa?
E perche'? Cioe': come dimostreresti che due spazi vettoriali sul medesimo campo quando hanno la stessa dimensione sono isomorfi?
"garnak.olegovitc":
"Siano dati \(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \)
Riprendendo un po' Armando ...davvero c'e' bisogno di scrivere tutta questa roba? A parte che faccio notare che l'operazione di cui e' dotata lo spazio vettoriale \( E \) e' \( \cdot_K \) --e' il prodotto esterno, il prodotto per elementi del campo. Ma comunque se \( E \) e' uno spazio vettoriale per definizione dev'essere dotato di un'operazione somma fra vettori e prodotto per scalare. Quindi, potresti semplicemente scrivere
Sia \( E \), \( F \) una coppia di spazi vettoriali (costruiti) sul medesimo campo \( \mathbb{K} \).
Anche qui potevi sfoltire parecchio:
"garnak.olegovitc":
\( \{e_1,e_2,...,e_n \} \) una base di \( E \), ed \( \{f_1,f_2,...,f_n \} \) una base di \( F \), ove \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \), allora \( |\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) implica \( \exists ! f \in \operatorname{Hom}_K(E,F) \) t.c \( f(e_1)=f_1 \) e \(f(e_2)=f_2\) e ... e \(f(e_n) = f_m \)"
Ma poi se
\[ \# \{ f_i \}_{i = 1}^m \equiv \# \{ e_i \}_{i = 1}^n \equiv k \]
allora, o le due basi sono indicizzate un po' a caso oppure
\[ m \equiv n \equiv k \]
"garnak.olegovitc":
... e che \(|\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) significa, in tal caso, \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \).. giusto??... Se si.. è sufficiente che \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \)??
E' sufficiente per cosa?
"garnak.olegovitc":
ma così, cioè in cui \( \dim_K(F)=\dim_K(E) \), non ho appena detto che \( E \) ed \( F \) sono isomorfi tra loro?!!...
E perche'? Cioe': come dimostreresti che due spazi vettoriali sul medesimo campo quando hanno la stessa dimensione sono isomorfi?
@giuscri,
che intendi con \( \# \) ??
Saluti|
"giuscri":
D
\[ \# \{ f_i \}_{i = 1}^m \equiv \# \{ e_i \}_{i = 1}^n \equiv k \]
allora, o le due basi sono indicizzate un po' a caso oppure
\[ m \equiv n \equiv k \]
che intendi con \( \# \) ??
Saluti|
"garnak.olegovitc":
che intendi con \( \# \) ??
Cardinalita'. Carino, no?
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