Equazione di un cono tangente ad una sfera
Ciao a tutti, ho qualche problema nella risoluzione di una parte di un esercizio di esame...ho già verificato i risultati intermedi quindi passo direttamente alla parte problematica.
In $E^3$ ho la sfera $\Omega) x^2+y^2+z^2+y-z=0$ ed il punto $P(1,0,0)$ che ha rispetto alla sfera potenza 1, quindi è esterno. Devo trovare il cono tangente alla sfera avente per vertice il punto $P$.
Ho considerato la stella di rette per tale punto; una generica retta di $E^3$ ha vettore di direzione $(l,m,n)$ quindi le equazioni parametriche per la stella di rette saranno:
$ { ( x=1+l\lambda ),( y=m\lambda ),( z=n\lambda):} $
Quando a lezione abbiamo definito le equazioni della stella di rette in $E^3$ abbiamo supposto che uno dei tre parametri tra l, m, n avesse valore 1. A dire il vero non so se in questo caso posso farlo però non sapevo come procedere quindi ho supposto $n=1$ e ne sono venute fuori le equazioni cartesiane:
${(x=lz+1),(y=mz):}$
A questo punto sostituisco tali valori nell'equazione della circonferenza ottenendo l'equazione:
$(l^2+m^2+1)z^2+(2l+m-1)z+1=0$
Qua provo ad imporre la condizione di tangenza cioè $\Delta=0$ e ottengo l'equazione:
$3m^2+2m-4lm+4l+3=0$
Qui proprio non so più cosa fare. Devo risolvere questa equazione considerando come incognita l o m? Suppongo di aver sbagliato qualche passaggio prima di arrivare a questo punto ma non so proprio cosa modificare. Ho pensato che il problema fosse l'aver posto n=1 ma in quel caso non avrei tre parametri con cui lavorare? Già con due non so dove mettee le mani...spero possiate aiutarmi!
In $E^3$ ho la sfera $\Omega) x^2+y^2+z^2+y-z=0$ ed il punto $P(1,0,0)$ che ha rispetto alla sfera potenza 1, quindi è esterno. Devo trovare il cono tangente alla sfera avente per vertice il punto $P$.
Ho considerato la stella di rette per tale punto; una generica retta di $E^3$ ha vettore di direzione $(l,m,n)$ quindi le equazioni parametriche per la stella di rette saranno:
$ { ( x=1+l\lambda ),( y=m\lambda ),( z=n\lambda):} $
Quando a lezione abbiamo definito le equazioni della stella di rette in $E^3$ abbiamo supposto che uno dei tre parametri tra l, m, n avesse valore 1. A dire il vero non so se in questo caso posso farlo però non sapevo come procedere quindi ho supposto $n=1$ e ne sono venute fuori le equazioni cartesiane:
${(x=lz+1),(y=mz):}$
A questo punto sostituisco tali valori nell'equazione della circonferenza ottenendo l'equazione:
$(l^2+m^2+1)z^2+(2l+m-1)z+1=0$
Qua provo ad imporre la condizione di tangenza cioè $\Delta=0$ e ottengo l'equazione:
$3m^2+2m-4lm+4l+3=0$
Qui proprio non so più cosa fare. Devo risolvere questa equazione considerando come incognita l o m? Suppongo di aver sbagliato qualche passaggio prima di arrivare a questo punto ma non so proprio cosa modificare. Ho pensato che il problema fosse l'aver posto n=1 ma in quel caso non avrei tre parametri con cui lavorare? Già con due non so dove mettee le mani...spero possiate aiutarmi!
Risposte
Devi solo ricavare i parametri l,m dalle equazioni della generica generatrice del cono :
\(\displaystyle \begin{cases}l=\frac{x-1}{z}\\m=\frac{y}{z}\end{cases} \)
Sostituisci ora tali valori nell'equazione:
$3m^2-4lm+4l+2m+3=0$
Dovrebbe saltar fuori l'equazione:
$3(y^2+z^2)-4xy+4xz+2yz+4y-4z=0$
che rappresenta il cono richiesto.
P.S. Non è sempre conveniente porre =1 uno dei parametri direzionali della retta su cui si lavora, a meno che non si sia sicuri che tale parametro sia diverso da zero. Altrimenti si può correre il rischio di perdere qualche soluzione del problema: quelle in cui il suddetto parametro fosse proprio =0.
\(\displaystyle \begin{cases}l=\frac{x-1}{z}\\m=\frac{y}{z}\end{cases} \)
Sostituisci ora tali valori nell'equazione:
$3m^2-4lm+4l+2m+3=0$
Dovrebbe saltar fuori l'equazione:
$3(y^2+z^2)-4xy+4xz+2yz+4y-4z=0$
che rappresenta il cono richiesto.
P.S. Non è sempre conveniente porre =1 uno dei parametri direzionali della retta su cui si lavora, a meno che non si sia sicuri che tale parametro sia diverso da zero. Altrimenti si può correre il rischio di perdere qualche soluzione del problema: quelle in cui il suddetto parametro fosse proprio =0.
Ho provato a risolvere il problema lasciando tutti i parametri indicati in modo da non "falsare" il risultato.
Ho allora ottenuto come equazioni cartesiane ${(x=(yl-m)/m), (z=yn/m):}$ in modo che poi sostituisco in funzione di m cioè le equazioni diventano:
${(l=(m(x-1))/y), (n=zm/y):}$
faccio la prima sostituzione, sostituisco quindi x e z e ottengo l'equazione:
$(l^2+2m^2+n^2)y^2-(2lm+mn)y+m^2=0$
Impongo la tangenza
$\Delta=(2lm+mn)^2-4m^2(l^2+2m^2+n^2)=8m^4+3m^2n^2-4m^2ln=0$
Come tu mi hai suggerito sostituisco ora i parametri l ed n in funzione di n per ottenere:
$8m^4y^2+3m^4z^2-4m^4z(x-1)=0$
poichè
$(l,m,n)!= (0,0,0)$
posso dividere per $m^4$. Dopo aver sudato ottengo quindi l'equazione del cono:
$8y^2+3z^2-4xz+4z=0$
Come puoi vedere è diversa da quella ottenuta da te. La differenza stava nell'aver supposto $n=1$ o ho sbagliato qualcosa anche adesso?
Ho allora ottenuto come equazioni cartesiane ${(x=(yl-m)/m), (z=yn/m):}$ in modo che poi sostituisco in funzione di m cioè le equazioni diventano:
${(l=(m(x-1))/y), (n=zm/y):}$
faccio la prima sostituzione, sostituisco quindi x e z e ottengo l'equazione:
$(l^2+2m^2+n^2)y^2-(2lm+mn)y+m^2=0$
Impongo la tangenza
$\Delta=(2lm+mn)^2-4m^2(l^2+2m^2+n^2)=8m^4+3m^2n^2-4m^2ln=0$
Come tu mi hai suggerito sostituisco ora i parametri l ed n in funzione di n per ottenere:
$8m^4y^2+3m^4z^2-4m^4z(x-1)=0$
poichè
$(l,m,n)!= (0,0,0)$
posso dividere per $m^4$. Dopo aver sudato ottengo quindi l'equazione del cono:
$8y^2+3z^2-4xz+4z=0$
Come puoi vedere è diversa da quella ottenuta da te. La differenza stava nell'aver supposto $n=1$ o ho sbagliato qualcosa anche adesso?
Fai un po' di confusione tra parametri e variabili.
Tu hai :
(1) $x=1+l lambda,y=m lambda,z=n lambda$
Sostituendo nell'equazione della sfera hai l'equazione in $lambda $ :
$(l^2+m^2+n^2) lambda^2 +(2l+m-n) lambda+1=0$
Annulli il delta è ottieni che :
(2) $3(m^2+n^2)-4lm+4l n+2mn=0$
Dalla (1) hai :
$l=(x-1)/(lambda),m=y/(lambda),n=z/(lambda)$
Sostituisci tali valori in (2) e si ha :
$3(y^2+z^2)-4xy+4xz+2yz+4y-4z=0$
che è l'equazione del cono.
Tu hai :
(1) $x=1+l lambda,y=m lambda,z=n lambda$
Sostituendo nell'equazione della sfera hai l'equazione in $lambda $ :
$(l^2+m^2+n^2) lambda^2 +(2l+m-n) lambda+1=0$
Annulli il delta è ottieni che :
(2) $3(m^2+n^2)-4lm+4l n+2mn=0$
Dalla (1) hai :
$l=(x-1)/(lambda),m=y/(lambda),n=z/(lambda)$
Sostituisci tali valori in (2) e si ha :
$3(y^2+z^2)-4xy+4xz+2yz+4y-4z=0$
che è l'equazione del cono.
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