Trovare l'eq. cartesiana di una base.. metodo non compreso..

[21zuclo]

Ciao a tutti, riguardando i miei appunti di esercitazione, vi è un metodo usato dal mio esercitatore, che faccio fatica a capire, io avrei fatto un'altro modo, ma vorrei capire il mio esercitatore cosa ha fatto. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.

Allora il mio esercitatore, prima ce l'ha detto in generale, successivamente ci ha fatto un esempio. Dico quello che ci ha detto in generale

sia
$ V=span\{ul(u_1)=( ( a_1 ),( b_1 ),( c_1 ),(d_1) ), ul(u_2)=( ( a_2 ),( b_2 ),( c_2 ),(d_2) ), ul(u_3)=( ( a_3 ),( b_3 ),( c_3 ) ,(d_4)),ul(u_4)=((a_4),(b_4),(c_4),(d_4))\}\subseteq RR^4 $

Ed ammettiamo che $dim V=2$ (ossia possiamo pensare che solamente i 2 vettori siano linearmente indipendenti)

Per determinare l'equazione cartesiana di $V$, possiamo fare in questo modo, risolvendo il sistema lineare

[tex]A|b=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_1 &a_2& a_3& a_4&x\\
b_1 & b_2 & b_3& b_4 &y \\
c_1 & c_2 & c_3 & c_4&z \\
d_1& d_2 & d_3 & d_4 & t
\end{array}
\right)[/tex]

risolvendo il sistema lineare con il metodo di Gauss,
e supponendo che ci venga una cosa del tipo [tex]\left(\begin{array}{cccc|c}
0 &0& 0& 0&x+y+z\\
b_1 & b_2 & b_3& b_4 &y \\
0 & 0 & 0 & 0&z+t-x \\
d_1& d_2 & d_3 & d_4 & t
\end{array}
\right)[/tex]

ALLORA le nostre equazioni cartesiane sono 2 e sono esattamente $x+y+z=0$ e $z+t-x=0$

ECCO..DOMANDA.. come mai al posto dei termini noti ci ha messo il vettore generico di $RR^4$ e poi perchè facendo con il metodo di Gauss, ha preso quelle 2 espressioni?
Non riesco a capire.

[jitter1]

Fatto così sembra più comodo, anch'io però non ho capito del tutto come - alla fine - le cose combaciano.

Uso un esempio. Sia V lo spazio vettoriale di cui vogliamo trovare equazioni cartesiane: $ V = <( ( 1 ),( 0),( 1 ) ) , ( ( 0 ),( 1),( 0 ) ) , ( ( 2 ),( 0),( 2 ) ) >$.
Facciamo finta di non aver badato al fatto che due dei vettori scelti per la base di V sono dipendenti e vediamo che succede.

Il generico vettore $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ di V è combinazione lineare dei vettori delle basi:

$ ( (x),( y),( z ) ) = a ( ( 1 ),( 0),( 1 ) ) + b( ( 0 ),( 1),( 0 ) ) + c ( ( 2 ),( 0),( 2 ) ) $

perciò considero la matrice associata al sistema: $ ( ( a , 0 , 2c , x ),( 0 , b , o , y ),( a , 0 , 2c , z ) ) $

Riducendo per colonne ottengo: $ ( ( 1 , 0 , 2 , x ),( 0 , 1 , 1 , y ),( 1 , 0 , 2 , z ) ) $ (quindi alla fine i parametri non occorre scriverli).

Ora, riducendo per righe [è corretto iniziare a ridurre per colonne e continuare per righe?] si ottiene:

$ ( ( 1 , 0 , 2, x ),( 0 , 1 , 0 , y ),( 0 , 0 , 0 , z - x ) ) $

x = z è l'equazione cartesiana di V (il numero di equazioni di V è 3 - rk(A) = 1, quindi torna il fatto che prendiamo le righe che hanno tutti zeri eccetto che nella colonna dei termini noti. Le altre righe sono indipendenti e il loro numero dà rkA).

Non so se è giusto quello che ho scritto, e comunque il perché l'ho spiegato solo parzialmente: chi ci aiuta?

[21zuclo]

Non ho capito ancora il perchè questo metodo! che al sistema $A|b$, ove $b$ è la colonna dei termini noti, ci metti le coordinate di $RR^n$

Boh. Qualcuno mi aiuta?

[21zuclo]

up!
nessuno?

[giuscri]

Non potresti riportare l'esempio pratico che vi ha proposto?

"21zuclo":ECCO..DOMANDA.. come mai al posto dei termini noti ci ha messo il vettore generico di $RR^4$ e poi perchè facendo con il metodo di Gauss, ha preso quelle 2 espressioni?
Non riesco a capire.

Ma sei sicuro ti sia chiaro cosa voglia dire trovare l'equazione cartesiana di una base? Io non lo so; magari piu' tardi provo a cercare qualcosa, ma intanto: tu hai un'idea o stai cercando di capire l'idea dell'esercizio senza sapere cosa si sia sotto?
Mi dai quell'impressione.

[Sk_Anonymous]

Posso fare un esempio io ma devo avvertire che procedo per righe e non per colonne.
Siano dati i vettori :
$(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9)$
e si voglia trovare il sistema, nelle incognite $x,y,z,s,t$, che li ammette come soluzioni.
Formiamo allora la matrice M che ha come prime 3 righe i vettori dati e come quarta ed ultima riga le incognite indicate:
$M=((1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9),(x,y,z,s,t))$
Riduciamo a scalini per righe la matrice M per ottenere la matrice M':
$M'=((1,3,-2,2,3),(0,1,-1,2,-1),(0,0,-x+y+z,4x-2y+s,-6x+y+t),(0,0,0,0,0))$
Adesso è sufficiente porre a zero gli elementi non nulli della terza riga per avere il sistema richiesto :
\(\displaystyle \begin{cases}-x+y+z=0\\4x-2y+s=0\\-6x+y+t=0\end{cases} \)
Si verifica facilmente che la matrice dei vettori dati ha rango =2, che quindi le equazioni necessarie a formare il sistema sono in numero di 5-2=3 e che i vettori dati sono soluzioni del sistema.

[21zuclo]

"giuscri":
Ma sei sicuro ti sia chiaro cosa voglia dire trovare l'equazione cartesiana di una base? Io non lo so; magari piu' tardi provo a cercare qualcosa, ma intanto: tu hai un'idea o stai cercando di capire l'idea dell'esercizio senza sapere cosa si sia sotto?
Mi dai quell'impressione.

So di cosa sta parlando! Vuole trovare l'equazione cartesiana della base, e sto cercando di capire il perchè esegue quel metodo!

Ok dai provo a scrivere l'esempio che ci ha fatto, l'esercitatore

$V=span\{ul(v_1)=((1),(-2),(1),(0)),ul(v_2)=((-2),(1),(0),(1)),ul(v_3)=((3),(1),(-1),(-1)),ul(v_4)=((-1),(3),(-1),(1))\}\subseteq RR^4$
Si chiede di determinare base e dimensione di $V$ e di trovare le equazioni cartesiane.

Vi dico già omettendo dei calcoli che $dim V=2$,
ha solamente i primi 2 vettori linearmente indipendenti $V=span\{ul(v_1),ul(v_2)}$

Ok per trovare le equazioni cartesiane procede così
[tex]A|b=\left(\begin{array}{cccc|c} 1 &-2& 3& -1&x\\ 2 & 1 & 1& 3 &y \\ -1 & 0 & -1& -1&z \\ 0& 1 & -1 & 1 & t \end{array} \right)[/tex]

procedendo con Gauss (ometto i passaggi),
il mio esercitatore l'ha fatto per righe ottiene [tex]\left(\begin{array}{cccc|c} 0 &0& 0& 0&2(y+2z)+x-z\\ 0 & 1 & -1& 1 &y+2z \\ -1 & 0 & -1& -1&z \\ 0& 0 & 0 & 0 & t-y-2z \end{array} \right)[/tex]

e conclude dicendo $V=\{\ul(v)\in RR^4 t.c. 2(y+2z)+x-z=0 \vee t-y-2z=0\}$

io vorrei capire come mai ha preso la prima e l'ultima equazione, e perchè non ha preso quelle 2 in mezzo?

[giuscri]

"ciromario":Si verifica facilmente che la matrice dei vettori dati ha rango =2, che quindi le equazioni necessarie a formare il sistema sono in numero di 5-2=3 e che i vettori dati sono soluzioni del sistema.

Ho capito a cosa fai riferimento: e' quel teorema che dice che se il numero delle incognite e' pari a \( 5 \) e il rango della matrice dei coefficienti e' \( 2 \) allora si hanno \( \infty^3 \) soluzioni; ma posso chiederti comunque di essere piu' esplicito? Qual e' il legame fra le tre equazioni e le \( \infty^3 \) soluzioni?

Ti ringrazio

"21zuclo":io vorrei capire come mai ha preso la prima e l'ultima equazione, e perchè non ha preso quelle 2 in mezzo?

Provo solamente a ragionare con te. La prima e l'ultima equazione sono condizioni necessarie alla risolubilita' del sistema. Se i termini noti della prima e dell'ultima fossero non nulli il sistema non sarebbe risolubile ...
So che non e' una risposta per ora, ma ci devo pensare

EDIT: Un po' di parole in liberta'.
@21zuclo: Scusa, ma quando riduci una matrice a scalini non hai ogni riga linearmente indipendente dalle altre? Si --a meno che non ce ne sia una di zeri.
Come dicevo sopra, condizione necessaria alla risolubilita' del sistema e' che
\[ \begin{cases} 2 (y +2x) + x - z = 0 \\ t - y - 2z = 0 \end{cases} \qquad (\star) \]
D'altro canto, e' anche una condizione sufficiente alla risolubilita' del sistema, infatti se vale \((\star)\) hai
\[ \left[ \begin{array}{cccc | c} -1 & 0 & -1 & -1 & z \\ 0 & 1 & -1 & 1 & y + 2z \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]
che e' risolubile per Rouche'-Capelli.

Quindi, ricapitolando: a te interessa capire com'e' fatto il generico vettore
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix} \in V \]
Di \(V\) conosci un sistema di generatori che e' --tenendo la notazione usata da te--
\[ \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 \} \]
La domanda che ti poni (in realta' fai finta di porti) e': esiste un qualche set di coefficienti reali tali che
\[ \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 + \delta \mathbf{v}_3 + \epsilon \mathbf{v}_4 = \mathbf{x} \; ? \]

Cercando di rispondere a questa domanda, trovi condizioni sulla fisionomia del vettore
\[ \mathbf{x} := \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]

Che dici?

Aggiungo che a questo punto e' chiaro che cosa ha fatto l'esercitatore ...

So che non e' una sezione in cui tipicamente lo si fa, ma ...rilancio (per Lorenzo, chiaramente) :

Trova un vettore che sia normale sia a \( \mathbf{v} \) che a \( \mathbf{w} \), dove
\[ \mathbf{v} := \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{w} := \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} \]
(Lang, Linear Algebra, 1966)

[jitter1]

Dimentica per un momento l'esempio dell'esercitatore e prendi questo, più semplice:

V = <(1, 0, 0), (0, 1, 1)>.

Le equazioni cartesiane sono: y = z.
In forma parametrica, invece, abbiamo: $ { ( x = a ),( y = b ) , (z = b):} $

$ { ( a = x ),( b = y ) , (b = z):} $

a e b sono le incognite e x, y, z i termini noti. Ora vediamo che succede nella matrice associata:

$ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y ),( 0 , 1 , z ) ) $ (scusami, non riesco a fare la barra per i termini noti).

Riduciamo la matrice:

$ ( ( 1 , 0 , x ),( 0 , 1 , y ),( 0 , 0 , z - y ) ) $

Scriviamo il sistema associato alla matrice:

$ { ( x = a ),( y = b ) , (0 = z-y):} $

Le equazioni cartesiane (in questo caso l'equazione) sono quelle "senza parametri". Questo corrisponde a quanto si "legge" nell'ultima riga della matrice.

Questo mi sembra analogo all'esempio dell'esercitatore: che dici?

[21zuclo]

Ah ok ora mi è chiaro! grazie a tutti!!

p.s.:
@giuscri
l'esercizio che mi hai lasciato tu come vettore normale cosa intendi? vuoi trovare il complemento ortogonale a quei 2 vettori?

[giuscri]

"21zuclo":@giuscri
l'esercizio che mi hai lasciato tu come vettore normale cosa intendi? vuoi trovare il complemento ortogonale a quei 2 vettori?

Se vuoi ... Altrimenti puoi pensare trovare l'equazione cartesiana del piano individuato da
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{v}, \mathbf{w} ) \]
e leggere in quell'espressione la direzione normale al piano.

[21zuclo]

ah ok capito cosa mi vuoi dire!
Lo faccio in generale, cioè ammettiamo che l'equazione cartesiana del piano fosse questa $ax+by+cz+d=0$

un vettore normale è $ul(u)=((a),(b),(c))$

[giuscri]

"21zuclo":ammettiamo che l'equazione cartesiana del piano fosse questa $ax+by+cz+d=0$, un vettore normale è $ul(u)=((a),(b),(c))$

...ovvio.
Ma l'esercizio e' un po' diverso: ti da due vettori ben precisi e ti chiede di trovarne la normale. E non e' che ho fatto un rilancio a caso; era un po' pertinente: il grosso era trovarti l'equazione cartesiana per
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{v}, \mathbf{w} ) \]
Va be', ormai e' diventato un esercizio qualsiasi.
Se vuoi posta e dico la mia, else don't worry.