Trovare l'equazione del piano passante per tre punti
Piccolo esercizio disturbante. Trovare il piano passante per
\[ \mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\,\, \mathbf{p}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]
Un'idea che dovrebbe funzionare e' la seguente: cerco i valori di \( a \), \( b \) e \( c \) tali che valga
\[ ax + by + cz = d \]
e lo faccio andando a risolvere il sistema la cui matrice relativa e'
\[ \left[ \begin{array}{c | c} \mathbf{p}_1^T & d \\ \mathbf{p}_2^T & d \\ \mathbf{p}_3^T & d \end{array} \right] \]
il che mi conduce ad uno strano risultato, perche' trovo che
\[ c \propto d \]
e quindi anche \( a \) e \( b \).
Non e' strano?... Il vettore costruito come
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \]
dovrebbe trovarsi su una retta normale al piano individuato dai tre punti. Ma se dipendesse da \( d \) avrei che piani paralleli avrebbero normali diverse. Il che mi pare sia assurdo.
Aiuti?
Ringrazio
\[ \mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\,\, \mathbf{p}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]
Un'idea che dovrebbe funzionare e' la seguente: cerco i valori di \( a \), \( b \) e \( c \) tali che valga
\[ ax + by + cz = d \]
e lo faccio andando a risolvere il sistema la cui matrice relativa e'
\[ \left[ \begin{array}{c | c} \mathbf{p}_1^T & d \\ \mathbf{p}_2^T & d \\ \mathbf{p}_3^T & d \end{array} \right] \]
il che mi conduce ad uno strano risultato, perche' trovo che
\[ c \propto d \]
e quindi anche \( a \) e \( b \).
Non e' strano?... Il vettore costruito come
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \]
dovrebbe trovarsi su una retta normale al piano individuato dai tre punti. Ma se dipendesse da \( d \) avrei che piani paralleli avrebbero normali diverse. Il che mi pare sia assurdo.
Aiuti?
Ringrazio
Risposte
Sia $P=(x,y,z)$ un generico punto appartenente al piano e siano $\bbu=(1,-2,0)$ e $\bbv=(1,2,-2)$ i due vettori rispettivamente per $P_1$ & $P_2$ e per $P_1$ & $P_3$.
Sia invece $\bbw=(x-2,y-1,z-1)$ il vettore per $P_1$ & $P$.
A questo punto, imponendo la condizione per cui i tre vettori $\bbu, \bbv, \bbw$ risultino complanari, si ottiene:
che è proprio l'equazione cercata del piano in forma cartesiana.
In alternativa avresti potuto fare il prodotto vettoriale di due vettori appartenenti al piano, diciamo $\bbu$ e $\bbv$, trovando così il vettore normale al piano e quindi la terna $(a,b,c)$. Il valore del parametro $d$ lo avresti ottenuto imponendo il passaggio per uno qualunque dei tre punti.
Sia invece $\bbw=(x-2,y-1,z-1)$ il vettore per $P_1$ & $P$.
A questo punto, imponendo la condizione per cui i tre vettori $\bbu, \bbv, \bbw$ risultino complanari, si ottiene:
$\bbu*\bbvxx\bbw=0 ->|(x-2,y-1,z-1), (1,-2,0), (1,2,-2)|=0->2x+y+2z=7$,
che è proprio l'equazione cercata del piano in forma cartesiana.
In alternativa avresti potuto fare il prodotto vettoriale di due vettori appartenenti al piano, diciamo $\bbu$ e $\bbv$, trovando così il vettore normale al piano e quindi la terna $(a,b,c)$. Il valore del parametro $d$ lo avresti ottenuto imponendo il passaggio per uno qualunque dei tre punti.
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