Per quali valori $\alpha\in RR$ la matrice è diagonalizzabile
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, non riesco a far venire fuori la soluzione. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Se voi aveste agito in maniera diversa, scrivetelo pure
Stabilire per quali valori del parametro $\alpha\in RR$ la matrice è diagonalizzabile $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( \alpha , 1 , 3 ),( 2 , 2 , 0 ) ) $
ho provato a svolgere così:
la mia idea è calcolo gli autovalori e vedo quando sono distinti tra di loro, perchè se ho autovalori distinti la matrice è diagonalizzabile.
$ | ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( \alpha , 1-\lambda , 3 ),( 2 , 2 , -\lambda ) | =-\lambda(1-\lambda)^2+6-(6(1-\lambda)-\alpha \lambda)=-\lambda(1-\lambda)^2+6\lambda+\alpha\lambda =$
$=-\lambda-\lambda^3+2\lambda^2+6\lambda+\alpha\lambda=-\lambda^3+2\lambda^2+5\lambda+\alpha\lambda$
e si ha $-\lambda^3+2\lambda^2+5\lambda+\alpha\lambda=0\to \lambda(-\lambda^2+2\lambda+5+\alpha)=0$
un autovalore che trovo è $\lambda=0$
mentre l'altro è $-\lambda^2+2\lambda+5+\alpha=0\to \lambda^2-2\lambda-5-\alpha=0$,
però mi vengono dei valori strani.. tipo il discriminante mi viene $\Delta/4=1-(-5-\alpha)=1+5+\alpha=6+\alpha$
ecco ed avrei un numero irrazionale.
Mentre la soluzione mi dice che è diagonalizzabile per $\alpha\ne -5\vee \alpha\ne -6$, Dove sbaglio?
Se voi aveste agito in maniera diversa, scrivetelo pure
Stabilire per quali valori del parametro $\alpha\in RR$ la matrice è diagonalizzabile $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( \alpha , 1 , 3 ),( 2 , 2 , 0 ) ) $
ho provato a svolgere così:
la mia idea è calcolo gli autovalori e vedo quando sono distinti tra di loro, perchè se ho autovalori distinti la matrice è diagonalizzabile.
$ | ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( \alpha , 1-\lambda , 3 ),( 2 , 2 , -\lambda ) | =-\lambda(1-\lambda)^2+6-(6(1-\lambda)-\alpha \lambda)=-\lambda(1-\lambda)^2+6\lambda+\alpha\lambda =$
$=-\lambda-\lambda^3+2\lambda^2+6\lambda+\alpha\lambda=-\lambda^3+2\lambda^2+5\lambda+\alpha\lambda$
e si ha $-\lambda^3+2\lambda^2+5\lambda+\alpha\lambda=0\to \lambda(-\lambda^2+2\lambda+5+\alpha)=0$
un autovalore che trovo è $\lambda=0$
mentre l'altro è $-\lambda^2+2\lambda+5+\alpha=0\to \lambda^2-2\lambda-5-\alpha=0$,
però mi vengono dei valori strani.. tipo il discriminante mi viene $\Delta/4=1-(-5-\alpha)=1+5+\alpha=6+\alpha$
ecco ed avrei un numero irrazionale.
Mentre la soluzione mi dice che è diagonalizzabile per $\alpha\ne -5\vee \alpha\ne -6$, Dove sbaglio?
Risposte
Ciao, fino a qui mi sembra tutto corretto. Ora devi proseguire e controllare se la molteplicità algebrica e quella geometrica sono uguali per ogni autovalore.
Puoi seguire questo schema:
1. se gli autovalori sono tutti diversi la matrice è diagonalizzabile
2. se qualche autovalore ha molteplicità algebrica maggiore di $1$ si deve controllare la sua molteplicità geometrica
2.1. per quali valori di $alpha$ c'è un autovalore che abbia molteplicità algebrica maggiore di $1$? Cosa succede in questi casi?
Puoi seguire questo schema:
1. se gli autovalori sono tutti diversi la matrice è diagonalizzabile
2. se qualche autovalore ha molteplicità algebrica maggiore di $1$ si deve controllare la sua molteplicità geometrica
2.1. per quali valori di $alpha$ c'è un autovalore che abbia molteplicità algebrica maggiore di $1$? Cosa succede in questi casi?
allora facendo così ottengo i seguenti autovalori $ \lambda_1=0\vee \lambda_2=1+sqrt(6+\alpha)\vee \lambda_3=1-sqrt(6+\alpha) $
e questi sono tutti diversi se e solo se $\alpha \ne -6$
Però la soluzione mi dice che di valori ce ne sono 2..
presumo che per calcolare quell'altro dovrei calcolare la molteplicità geometrica, esatto?
e questi sono tutti diversi se e solo se $\alpha \ne -6$
Però la soluzione mi dice che di valori ce ne sono 2..
presumo che per calcolare quell'altro dovrei calcolare la molteplicità geometrica, esatto?
I casi sono i seguenti:
1. \(\lambda_1 = \lambda_2\quad\Rightarrow\quad\nexists\alpha\in\mathbb{R}\)
2. \(\lambda_1 = \lambda_3\quad\Rightarrow\quad\alpha = -5\)
3. \(\lambda_2 = \lambda_3\quad\Rightarrow\quad\alpha = -6\)
Quindi ecco da dove saltano fuori i due valori. Però attenzione perchè il fatto che due o più autovalori siano uguali non significa automaticamente che la matrice non sia diagonalizzabile: è necessario calcolare la molteplicità geometrica.
1. \(\lambda_1 = \lambda_2\quad\Rightarrow\quad\nexists\alpha\in\mathbb{R}\)
2. \(\lambda_1 = \lambda_3\quad\Rightarrow\quad\alpha = -5\)
3. \(\lambda_2 = \lambda_3\quad\Rightarrow\quad\alpha = -6\)
Quindi ecco da dove saltano fuori i due valori. Però attenzione perchè il fatto che due o più autovalori siano uguali non significa automaticamente che la matrice non sia diagonalizzabile: è necessario calcolare la molteplicità geometrica.
ah ok grazie! E per valori diversi da $-5$ e da $-6$ la matrice è diagonalizzabile!
Un'altra cosa, guardando un eserciziario che ho qui, c'è un esercizio simile a questo però mi perdo in un passaggio, riporto qui brevemente
ecco bisogna stabilire per quali valori del parametro $k$ la matrice è diagonalizzabile
la matrice è $ B=( ( k , 0 , 0 ),( 5 , 2-k , 0 ),( k , 0 , 3 ) ) $
ecco si calcola gli autovalori (ometto i passaggi) e si trova $ \lambda_1=k\vee \lambda_2=2-k \vee \lambda_3=3 $
ecco dopo dice giustamente che la matrice è diagonalizzabile se ammette autovalori distinti e dice che
$k\ne 2-k \to k\ne 1$ poi $k\ne 3$ e poi dice anche che $2-k\ne 3$
ecco perchè ha messo $2-k\ne 3$ ? io avrei solamente detto che ammette autovalori distinti solo per $k\ne 1,3$
Cos'è che mi sfugge?
ah dopo l'esercizio prosegue e si calcola la molteplicità geometrica.. tutto il resto mi è chiaro!
Un'altra cosa, guardando un eserciziario che ho qui, c'è un esercizio simile a questo però mi perdo in un passaggio, riporto qui brevemente
ecco bisogna stabilire per quali valori del parametro $k$ la matrice è diagonalizzabile
la matrice è $ B=( ( k , 0 , 0 ),( 5 , 2-k , 0 ),( k , 0 , 3 ) ) $
ecco si calcola gli autovalori (ometto i passaggi) e si trova $ \lambda_1=k\vee \lambda_2=2-k \vee \lambda_3=3 $
ecco dopo dice giustamente che la matrice è diagonalizzabile se ammette autovalori distinti e dice che
$k\ne 2-k \to k\ne 1$ poi $k\ne 3$ e poi dice anche che $2-k\ne 3$
ecco perchè ha messo $2-k\ne 3$ ? io avrei solamente detto che ammette autovalori distinti solo per $k\ne 1,3$
Cos'è che mi sfugge?
ah dopo l'esercizio prosegue e si calcola la molteplicità geometrica.. tutto il resto mi è chiaro!
Perchè i casi possibili sono tre: il primo uguale al secondo, il primo uguale al terzo e il secondo uguale al terzo.
Considerando il caso "secondo uguale al terzo" trovi $$2-k = 3 \quad\Rightarrow\quad k = -1$$
Considerando il caso "secondo uguale al terzo" trovi $$2-k = 3 \quad\Rightarrow\quad k = -1$$
ah ok grazie! Sì ora il procedimento con questo tipo di esercizi..mi sa che l'ho capito!..
Madò sto caldo gioca brutti scherzi!..
io sono di Milano e stiamo per arrivare a 40 gradi!
Comunque grazie!
Madò sto caldo gioca brutti scherzi!..
io sono di Milano e stiamo per arrivare a 40 gradi!
Comunque grazie!
Prego, figurati!
Se hai altri dubbi siamo qui.
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