[RISOLTO] Lang, Ex. 10, Capitolo 4

[giuscri]

"Lang, Linear Algebra, EX.10, Cap.4":Sia \( F \) l'applicazione definita ponendo
\[ F(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y) \]
Descrivere l'immagine attraverso \( F \) di \( x = 1 \).

A parte che faccio una fatica assurda a visualizzare la cosa geometricamente --ma probabilmente sbaglio a voler visualizzare una mappa che piu' che trasformare cambia direttamente i punti-- per \( x \) fissato a \( 1 \) l'immagine di \( F \) e'
\[ (e \cos y, e \sin y) \]
cioe' la circonferenza centrata nell'origine di raggio \( e \), quindi
\[ x^2 + y^2 = e^2 \]
Per mostrarlo --in maniera pedante, come mi chiede Lang (ma forse, meglio cosi)-- vado a far vedere che
\[ F (\star) \subseteq (\clubsuit) \Leftarrow (\star) := \{ \mathbb{R}^2 \ni (x,y) : x = 1 \} \, , (\clubsuit) := \{ \mathbb{R}^2 \ni (x,y) : x^2 + y^2 = e^2 \} \]
e poi il contrario. Ma comincio a fare un po' di confusione.
Sia \( (u, v) \in F(\star) \) definita come
\[ u := e \cos y \]
\[ v := e \sin y \, ,\]
allora riesco a scrivere
\[ u^2 + v^2 = e^2 ( \cos^2 y + \sin^2 y ) \equiv e^2\]
cioe'
\[ F(\star) \subseteq (\clubsuit) \; . \]
Mostrare l'inverso mi viene difficile, pero' ... Ci provo comunque: sia \( (u, v) \) un punto della circonferenza \( (\clubsuit) \). Riesco a trovare (sara' vero?) un valore \( y \) tale che
\[ u \equiv e \cos y \]
\[ v \equiv e \sin y \]
quindi
\[ (u, v) \equiv (e \cos y , e \sin y) = F(1, y) \]
cioe' ogni punto della circonfenza posso pensarlo come immagine di un adeguato punto nel dominio di \( F \), cioe'
\[ F(\star) \supseteq (\clubsuit) \]
Il che dimostrerebbe che l'immagine di \( x = 1 \) e' proprio la circonferenza
\[ x^2 + y^2 = e^2 \]
Bha ...

[j18eos]

"giuscri":...Ci provo comunque: sia \( (u, v) \) un punto della circonferenza \( (\clubsuit) \). Riesco a trovare (sara' vero?) un valore \( y \) tale che
\[u \equiv e \cos y\\
v\equiv e \sin y \]...

Come sarà vero? Chi dev'essere questa \(y\) per avere un significato geometrico?

[giuscri]

Hups. Mi ero preso qualche giorno di pausa, e quella sera ero parecchio stanco.

"j18eos":Come sarà vero? Chi dev'essere questa \(y\) per aver un significato geometrico?

Be', direi l'angolo che il vettore \((u,v)\) forma con la retta delle ascisse.

Per il resto che ne dici?

[j18eos]

Scriviamolo meglio: \(y\) è l'angolo dei vettori di coordinate \((u;v)\) e \((1;0)\).

Il resto è corretto, forse hai fatto qualche giro di walzer ma corretto!

[giuscri]

"j18eos":\(y\) è l'angolo dei vettori di coordinate \((u;v)\) e \((1;0)\).

Great.

Sempre gentile, ciao Armando

[j18eos]

Prego, dovere.

CIa0 giuscri.