Se \( S \) e' un insieme convesso gli appartengono tutte le combinazioni lineari dei suoi punti, tali che: [...]
Stamattina mi sono ritrovato a dover dimostrare che
Spinto da Lang --per gli interessati, mi riferisco all'Appendice 1 del testo Linear Algebra-- lo dimostro per induzione (la dimostrazione non viene poi completata dall'autore, per questo chiedo conferma).
Chiaramente per \( n \equiv 1 \) il teorema e' immediatamente dimostrato; per \( n \equiv 2 \) la tesi deriva dalla definizione di insieme convesso. Si ha infatti
\[ x_1 P_1 + x_2 P_2 \; \Rightarrow \; x_1 P_1 + ( 1 -x_1 ) P_2 \; \equiv \; P_2 + t (P_1 - P_2) \qquad t \in [0, 1] \]
che e' il segmento congiungente \( P_2 \) `a' \( P_1 \) --quindi rimane contenuto nell'insieme convesso \( S \).
Supponiamo le combinazioni dei \( \{P_i\}_{i = 1}^{n -1} \) punti tali da rispettare la condizione \( (\star) \) rimangano in \( S \); vogliamo verificare la tesi aggiungendo il punto \( P_n \).
Si osservi che se \( x_n = 1 \) allora tutti gli altri coefficienti devono essere nulli; la tesi e' immediatamente verificata.
Sia \( x_n \neq 1 \); allora possiamo scrivere la combinazione lineare degli \( n \) punti come
\[ ( 1 - x_n ) \left[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \right] + x_n P_n \]
Dato che
\[ \sum_{i = 1}^{n -1} \frac{x_i}{1 - x_n} = 1 \]
e che
\[ \frac{x_i}{1 -x_n} \le 1 \qquad \forall i = 1, \ldots, n -1 \]
si ha
\[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \in S \]
--per ipotesi di induzione. Ma allora
\[ ( 1 - x_n ) \left[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \right] + x_n P_n \equiv ( 1 - x_n ) \tilde{P} + x_n P_n \]
che e' il segmento congiungente \( \tilde{P} \) `a' \( P_n \), dunque contenuto in \( S \) per definizione di insieme convesso.
Che dite?
Siano \( P_1, \ldots, P_n \) punti di \( \mathbb{R}^m \). Ad ogni insieme convesso cui appartengono i punti \( P_1, \ldots, P_n \) appartengono anche tutte le combinazioni lineari
\[ x_1 P_1 + \ldots + x_n P_n \qquad \forall x_i \in [0, 1], \; \sum_{i = 1}^n x_i = 1 \qquad (\star) \]
Spinto da Lang --per gli interessati, mi riferisco all'Appendice 1 del testo Linear Algebra-- lo dimostro per induzione (la dimostrazione non viene poi completata dall'autore, per questo chiedo conferma).
Chiaramente per \( n \equiv 1 \) il teorema e' immediatamente dimostrato; per \( n \equiv 2 \) la tesi deriva dalla definizione di insieme convesso. Si ha infatti
\[ x_1 P_1 + x_2 P_2 \; \Rightarrow \; x_1 P_1 + ( 1 -x_1 ) P_2 \; \equiv \; P_2 + t (P_1 - P_2) \qquad t \in [0, 1] \]
che e' il segmento congiungente \( P_2 \) `a' \( P_1 \) --quindi rimane contenuto nell'insieme convesso \( S \).
Supponiamo le combinazioni dei \( \{P_i\}_{i = 1}^{n -1} \) punti tali da rispettare la condizione \( (\star) \) rimangano in \( S \); vogliamo verificare la tesi aggiungendo il punto \( P_n \).
Si osservi che se \( x_n = 1 \) allora tutti gli altri coefficienti devono essere nulli; la tesi e' immediatamente verificata.
Sia \( x_n \neq 1 \); allora possiamo scrivere la combinazione lineare degli \( n \) punti come
\[ ( 1 - x_n ) \left[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \right] + x_n P_n \]
Dato che
\[ \sum_{i = 1}^{n -1} \frac{x_i}{1 - x_n} = 1 \]
e che
\[ \frac{x_i}{1 -x_n} \le 1 \qquad \forall i = 1, \ldots, n -1 \]
si ha
\[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \in S \]
--per ipotesi di induzione. Ma allora
\[ ( 1 - x_n ) \left[ \frac{x_1}{1 - x_n} P_1 + \ldots + \frac{ x_{n -1} }{1 - x_n} P_{n -1} \right] + x_n P_n \equiv ( 1 - x_n ) \tilde{P} + x_n P_n \]
che e' il segmento congiungente \( \tilde{P} \) `a' \( P_n \), dunque contenuto in \( S \) per definizione di insieme convesso.
Che dite?
Risposte
La tua dimostrazione mi sembra corretta.
Comunque assumere che la proprieta' sia vera per $n-1$ implica, secondo la tesi, che lo sia non solo per una combinazione di coefficienti la cui somma sia $1$, ma anche $1$, quindi siccome e' vera per $n=2$ lo sara' anche per $n$. L'appunto che faccio e' solo per rimarcare i molti casi che spesso ricadono in questa situazione, e che hanno tutti questa soluzione semplice senza ulteriori passaggi, in pratica basta dimostrarne il caso $n=2$
Comunque assumere che la proprieta' sia vera per $n-1$ implica, secondo la tesi, che lo sia non solo per una combinazione di coefficienti la cui somma sia $1$, ma anche $1$, quindi siccome e' vera per $n=2$ lo sara' anche per $n$. L'appunto che faccio e' solo per rimarcare i molti casi che spesso ricadono in questa situazione, e che hanno tutti questa soluzione semplice senza ulteriori passaggi, in pratica basta dimostrarne il caso $n=2$
Corretto.
Aggiungo che le "combinazioni lineari tali che..." del titolo si chiamano combinazioni convesse.
Aggiungo che le "combinazioni lineari tali che..." del titolo si chiamano combinazioni convesse.
"regim":
Comunque assumere che la proprieta' sia vera per $n-1$ implica, secondo la tesi, che lo sia non solo per una combinazione di coefficienti la cui somma sia $1$, ma anche $1$, quindi siccome e' vera per $n=2$ lo sara' anche per $n$.
Scusa, ma non capisco. Potresti rispiegarmi cosa intendi dire?
@Gugo: Ah-hà! Buono a sapersi
Significa che l'ipotesi induttiva vale pure per una combinazione di coefficiente la cui somma e' minore di 1, quindi hai anche in quel caso certamente un punto dell'insieme, ok bisognerebbe comunque dimostrare che un suo rapporto sia un punto dell'insieme, ergo va bene la tua dimostrazione e ritiro la mia 
ciao
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo