Help risoluzione piccolo esercizio
Salve a tutti ragazzi, è da un bel pò di ore che non riesco a capire come risolvere un'equazione matriciale AX + B = C
dove :
\(\displaystyle A=((2,3,0),(3,5,-0),(0,0,1)) B=((1,0,1),(2,1,0),(0,1,1)) C=((0,0,1),(1,0,1),(1,0,1)) \)
ed vi prego di aiutarmi a risolvere anche questo mini esercizietto ovvero : Trovare i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e quelli di ordine \(\displaystyle 5 \) nel gruppo S4.
Vi ringrazio in anticipo a tutti.
dove :
\(\displaystyle A=((2,3,0),(3,5,-0),(0,0,1)) B=((1,0,1),(2,1,0),(0,1,1)) C=((0,0,1),(1,0,1),(1,0,1)) \)
ed vi prego di aiutarmi a risolvere anche questo mini esercizietto ovvero : Trovare i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e quelli di ordine \(\displaystyle 5 \) nel gruppo S4.
Vi ringrazio in anticipo a tutti.
Risposte
Ciao, date le matrici $$
A=\begin{pmatrix}2&3&0\\3&5&0\\0&0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}
$$ l'equazione matriciale $$AX + B = C$$ si può riscrivere come $$AX = C-B \Rightarrow \begin{pmatrix}2&3&0\\3&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}X = \begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$$
Riesci a concludere da qui?
PS. Per qualche altro esempio puoi guardare qui.
A=\begin{pmatrix}2&3&0\\3&5&0\\0&0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\0&1&1\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}
$$ l'equazione matriciale $$AX + B = C$$ si può riscrivere come $$AX = C-B \Rightarrow \begin{pmatrix}2&3&0\\3&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}X = \begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$$
Riesci a concludere da qui?
PS. Per qualche altro esempio puoi guardare qui.
allora perfetto ho capito come hai interpretato la \(\displaystyle C- B \) quindi ora avrò una matrice \begin{pmatrix}2&3&0&-1&0&0\\3&5&0&-1&-1&1\\0&0&1&1&-1&0\end{pmatrix}
ora posso ridurre a scala la seguente matrice ma dopo per aver le soluzioni cosa dovrei fare? scusami ma non riesco proprio a capire il procedimento per trovare le soluzioni, pensavo di mettere a sistema le righe della matrice per esempio
\(\displaystyle 2x1 + 3x2 = (-1 , 0 , 1) \) però ora mi blocco in questo passaggio non sapendo come continuare.ti ringrazio.
ora posso ridurre a scala la seguente matrice ma dopo per aver le soluzioni cosa dovrei fare? scusami ma non riesco proprio a capire il procedimento per trovare le soluzioni, pensavo di mettere a sistema le righe della matrice per esempio
\(\displaystyle 2x1 + 3x2 = (-1 , 0 , 1) \) però ora mi blocco in questo passaggio non sapendo come continuare.ti ringrazio.
Ciao, data la matrice che hai scritto tu, ovvero $$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2&3&0&-1&0&0\\
3&5&0&-1&-1&1\\
0&0&1&1&-1&0
\end{array}\right)
$$ la puoi trasformare con operazioni di riga fino a ridurla alla seguente forma $$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&-2&3&-3\\
0&1&0&1&-2&2\\
0&0&1&1&-1&0
\end{array}\right)
$$ A questo punto sulla destra puoi leggere la soluzione. ***
Si può anche fare la verifica: $$
\begin{pmatrix}
2&3&0\\3&5&0\\0&0&1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-2&3&-3\\1&-2&2\\1&-1&0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}
$$
*** Il motivo di questo è piuttosto semplice: la tua equazione può essere riscritta come $$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}
-2&3&-3\\1&-2&2\\1&-1&0
\end{pmatrix}
$$ quindi la soluzione è immediata.
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
2&3&0&-1&0&0\\
3&5&0&-1&-1&1\\
0&0&1&1&-1&0
\end{array}\right)
$$ la puoi trasformare con operazioni di riga fino a ridurla alla seguente forma $$
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&-2&3&-3\\
0&1&0&1&-2&2\\
0&0&1&1&-1&0
\end{array}\right)
$$ A questo punto sulla destra puoi leggere la soluzione. ***
Si può anche fare la verifica: $$
\begin{pmatrix}
2&3&0\\3&5&0\\0&0&1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-2&3&-3\\1&-2&2\\1&-1&0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0&0\\-1&-1&1\\1&-1&0\end{pmatrix}
$$
*** Il motivo di questo è piuttosto semplice: la tua equazione può essere riscritta come $$
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}
-2&3&-3\\1&-2&2\\1&-1&0
\end{pmatrix}
$$ quindi la soluzione è immediata.
Si perfetto ridà eccome grazie dell'aiuto! grazie tantissimo! ora mi manca ora da capire come trovare i sottogruppi di ordine \(\displaystyle 3 \) e di ordine \(\displaystyle 5 \) nel gruppo \(\displaystyle S_4 \) qualche aiutino ?
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