Dimostrazione del Teorema Spettrale (versione diversa)

[Castle1]

Salve a tutti ragazzi
Come da titolo il mio problema è proprio la dimostrazione del Teorema Spettrale il quale mi è stato spiegato in modo diverso rispetto ai enunciati che ho trovato su questo forum e in internet in generale.
La dimostrazione è abbastanza lunga tuttavia non chiedo che mi vengano spiegati tutti i vari punti, perchè:
1)alcuni mi sono chiari
2)sinceramente mi sentirei in colpa
tuttavia per una completezza della spiegazione e per far si che anche altri possano beneficiare di questo post ho scritto tutta la dimostrazione però vi chiedo: NON ABBIATE PAURA DELLA LUNGHEZZA!!! LEGGETELA
Inziamo!
Teorema: Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su un campo $K$ sia $ f: V rarr V $ un endomorfismo e siano $ lambda_1,....lambda_m $ gli autovalori (a due a due distinti) di $ f $ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) $f$ è diagonalizzabile;
(ii) $ V = V_(lambda_1)o+.....o+ V_(lambda_m) $
(iii) $ Sigma_(i = 1)^(m) dim V_(lambda_1)=n $
(iv) $ Sigma_(i = 1)^(m) m(lambda_i)=n $ e $ dim V_(lambda_j)= m(lambda_j) AA j $
Dimostrazione:

(i) $ rArr $ (ii)

Sia $ B=(v_1,...v_n) $ una base di autovettori, ordinata in modo tale che compaiano prima tutti gli autovettori associati a $lambda_1$, poi quelli associati a $lambda_2$, e così via. Più precisamente, esisteranno degli interi positivi
$ 1<=h_1 tali che
$ v_1,.....,v_(h_1)\epsilon V_(lambda_1) $ ; $ v_(h_1+1),.....,v_(h_2)\epsilon V_(lambda_1) $ ;......; $ v_(h_(m-1)+1),.....,v_n\epsilon V_(lambda_m) $ .
Ma allora
dim V_(lambda_1)>=h_1, dim V_(lambda_2)>=h_2-h_1,........., $ dim V_(lambda_m)>=n-h_(m-1) $ ( Perchè? la dimensione non dovrebbe essere solo uguale? o al massimo $<=$?)
Pertanto il sottospazio
$ W=V_(lambda_1)o+.....o+ V_(lambda_m) <=V $
ha dimensione
$ dim W>= h_1 + (h_2-h_1)+....+(n-h_(m-1))=n $
Poichè la dimensione di $W$ non può superare quella di $V$, si avrà $dim W=n$ e quindi $W =V$.

(ii)=>(iii)

Si deduce da risultati già acquisiti sulle somme dirette ( Cioè?)

(iii)=>(ii) Chiaro

Posto
$ W=V_(lambda_1)o+.....o+ V_(lambda_m) <=V $
abbiamo che
$ dim W=Sigma _(i=1)^m dim V_(lambda_i) = dim V $
e quindi $W=V$.

(ii)=>(i) Chiaro

Scegliamo delle basi $ B_1,B_2,.....B_m $ di $ V_(lambda_1),V_(lambda_2),.....,V_(lambda_m) $ rispettivamente.
Posto
$ B= B_1uu ....uu B_m $
si avrà che $B$ è una base di $V$, costituita da autovettori.

(iii)=>(iv) ( Perchè?)

Poichè il polinomio caratteristico $p$ ha grado $n$, è chiaro che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori non può superare $n$.
D'altra parte $ dim V_(lambda_i)<= m(lambda_i) AA i $ .Si deduce che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è proprio $n$.
Inoltre si avrà $ dim V_(lambda_i)= m(lambda_i) AA i $ ,perchè se fosse $ dim V_(lambda_j)< m(lambda_j) $ per qualche $j$, avremo anche che:
$ Sigma _(i=1)^m m(lambda_i)>Sigma _(i=1)^m dim V_(lambda_i)=n $
e ciò non è possibile.

(iv)=>(iii) ( Perchè?)

Ovvio.


Ho cercato di rendere la dimostrazione abbastanza chiara e leggibile e spero che non troviate difficoltà nel leggerla, ma in caso contrario...beh ditemelo e rimedierò subito . Grazie sempre a tutti per la vostra disponibilità.

[gugo82]

"Castle":Teorema: Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su un campo $K$ sia $ f: V rarr V $ un endomorfismo e siano $ lambda_1,....lambda_m $ gli autovalori (a due a due distinti) di $ f $ . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(i) $f$ è diagonalizzabile;
(ii) $ V = V_(lambda_1)o+.....o+ V_(lambda_m) $
(iii) $ Sigma_(i = 1)^(m) dim V_(lambda_1)=n $
(iv) $ Sigma_(i = 1)^(m) m(lambda_i)=n $ e $ dim V_(lambda_j)= m(lambda_j) AA j $
Dimostrazione:
(i) $ rArr $ (ii)
Sia $ B=(v_1,...v_n) $ una base di autovettori, ordinata in modo tale che compaiano prima tutti gli autovettori associati a $lambda_1$, poi quelli associati a $lambda_2$, e così via. Più precisamente, esisteranno degli interi positivi
$ 1<=h_1 tali che
$ v_1,.....,v_(h_1)\epsilon V_(lambda_1) $ ; $ v_(h_1+1),.....,v_(h_2)\epsilon V_(lambda_1) $ ;......; $ v_(h_(m-1)+1),.....,v_n\epsilon V_(lambda_m) $ .
Ma allora
dim V_(lambda_1)>=h_1, dim V_(lambda_2)>=h_2-h_1,........., $ dim V_(lambda_m)>=n-h_(m-1) $ ( Perchè? la dimensione non dovrebbe essere solo uguale? o al massimo $<=$?) [...]

Dato che \(\{v_1,\ldots ,v_{h_1}\}\) è linearmente indipendente ed è contenuto in \(V_{\lambda_1}\), ogni sistema indipendente massimale (cioé ogni base) di \(V_{\lambda_1}\) può avere cardinalità \(\geq h_1\).
Dato che \(\{v_{h_1+1},\ldots ,v_{h_2}\}\) è linearmente indipendente ed è contenuto in \(V_{\lambda_2}\), ogni sistema indipendente massimale (cioé ogni base) di \(V_{\lambda_1}\) può avere cardinalità \(\geq h_2-h_1\).
Etc...

"Castle":(ii)=>(iii)
Si deduce da risultati già acquisiti sulle somme dirette ( Cioè?)

Se più spazi sono in somma diretta, la dimensione della somma è la somma delle dimensioni.

"Castle":(iii)=>(iv) ( Perchè?)
Poichè il polinomio caratteristico $p$ ha grado $n$, è chiaro che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori non può superare $n$.
D'altra parte $ dim V_(lambda_i)<= m(lambda_i) AA i $ .Si deduce che la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori è proprio $n$.
Inoltre si avrà $ dim V_(lambda_i)= m(lambda_i) AA i $ ,perchè se fosse $ dim V_(lambda_j)< m(lambda_j) $ per qualche $j$, avremo anche che:
$ Sigma _(i=1)^m m(lambda_i)>Sigma _(i=1)^m dim V_(lambda_i)=n $
e ciò non è possibile.

Il testo ti avrà detto in precedenza che \(\dim V_\lambda \leq m(lambda)\), essendo \(m(\lambda)\) la molteplicità algebrica dell'autovalore \(\lambda\).

Dalla (iii) hai \(\sum_i \dim V_{\lambda_i}=n\) e ciò implica che \(\sum_i m(\lambda_i)\geq n\).
D'altra parte, sai che gli autovalori (quando esistono nel campo \(\mathbb{K}\)) sono zeri del polinomio caratteristico di \(f\), il quale ha grado coincidente con la dimensione di \(V\); un teorema di Algebra ti assicura che per un polinomio di grado \(n\) su un campo la somma delle molteplicità algebriche delle radici non eccede il grado del polinomio, quindi hai \(\sum_i m(\lambda_i)\leq n\).
Mettendo insieme le due disuguaglianze ottieni \(\sum_i m(\lambda_i)=n\) e poi il resto mi pare chiaro.

"Castle":(iv)=>(iii) ( Perchè?)
Ovvio.

Se vale \(\sum_i m(\lambda_i)=n\) e \(\dim V_{\lambda_i}=m(\lambda_i)\) allora \(\sum_i \dim V_{\lambda_i}=n\).