Problema con un problema di Topologia
Buonasera a tutti, ho un dubbio su un esercizio di Topologia di "Introdution to Topology" di Adams-Franzosa:
Nell'insieme delle funzioni continue $C[a,b]$ considerare le metriche $rho_M$ e $rho$ definite da:
$rho_M(f,g)= max_(x in [a,b]){|f(x)-g(x)|}$
e
$rho(f,g)= int_a^b|f(x)-g(x)| dx$
Al punto b) mi chiede:
b) Mostra che per ogni $c_1,c_2>0$ esiste $f in C[a,b]$ tale che $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$ e $int_a^b|f(x)| dx=c_2$
Questo per me è assurdo infatti, posto $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$, al massimo la funzione $int_a^b|f(x)| dx$ sarà uguale alla lunghezza dell'intervallo per il massimo della funzione quindi:
$int_a^b|f(x)| dx≤c_1(b-a)$
Quindi per ogni $c_2$ abbastanza grande sarà falso..
Dove sbaglio?!
Nell'insieme delle funzioni continue $C[a,b]$ considerare le metriche $rho_M$ e $rho$ definite da:
$rho_M(f,g)= max_(x in [a,b]){|f(x)-g(x)|}$
e
$rho(f,g)= int_a^b|f(x)-g(x)| dx$
Al punto b) mi chiede:
b) Mostra che per ogni $c_1,c_2>0$ esiste $f in C[a,b]$ tale che $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$ e $int_a^b|f(x)| dx=c_2$
Questo per me è assurdo infatti, posto $ max_(x in [a,b]){|f(x)|}=c_1$, al massimo la funzione $int_a^b|f(x)| dx$ sarà uguale alla lunghezza dell'intervallo per il massimo della funzione quindi:
$int_a^b|f(x)| dx≤c_1(b-a)$
Quindi per ogni $c_2$ abbastanza grande sarà falso..
Dove sbaglio?!
Risposte
È un errore del testo; per quanto mi ricordi l'asserto è vero supponendo \(c_1\geq c_2\)!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo