Piccolo dubbio diagonalizzazione

[Tano2]

Ciao ragazzi,
Avrei questo piccolo dubbio.
Negli esercizi nei quali mi chiedono di verificare se una data matrice è diagonalizzabile e poi di calcolare una diagonalizzante,
io ovviamente prima calcolo il polinomio caratteristico per verificare di avere solo radici reali;
successivamente calcolo gli autovettori relativi a ciascun autovalore.
A questo punto inserisco gli autovettori in colonna e , della matrice così ottenuta,calcolo il determinante.
Se questo è diverso da zero(indipendenza lineare) la matrice è diagonalizzabile.
Secondo voi sbaglio ?
Grazie mille

[Pappappero1]

Per vedere che la matrice sia diagonalizzabile non ti serve calcolare esplicitamente gli autovettori. Una volta che hai gli autovalori $\lambda_1 ... \lambda_k$ (con una matrice $n \times n$ e $ k \leq n$) ti basta prendere gli autovalori che hanno molteplicità algebrica più alta di $1$ (che sono gli unici per cui le cose potrebbero andare male) e verificare che l'autospazio corrispondente abbia dimensione esattamente uguale alla molteplicità dell'autovalore.

Perciò dato un autovalore $\lambda$, risolvi il sistema lineare $A- \lambda Id = 0$; lo spazio delle soluzioni è proprio l'autospazio; usi l'algoritmo di Gauss per trovare una base dello spazio delle soluzioni e se la dimensione coincide con la molteplicità algebrica di $\lambda$, allora hai vinto.

Il tuo ragionamento è giusto, ma non ha senso dire "inserisco gli autovettori in colonna" perché gli autovettori sono infiniti. Tu inserisci una famiglia di autovettori linearmente indipendenti in colonna, ma allora già il fatto che ne trovi $n$ ti dice che la matrice che ottieni è non singolare (e se ne ottieni meno di $n$ la matrice non è quadrata, quindi non puoi calcolare il determinante). Morale della favola, non ti serve calcolare il determinante; ti serve solo contare gli autovettori. Una volta che hai il numero giusto di autovettori, per ottenere la matrice diagonalizzante ti basta affiancarli. La matrice così ottenuta e la sua inversa diagonalizzano $A$.