[Geometria nel piano] Triangolo e rette
Mi sapreste dire come si procede nel risolvere il seguente esercizio, non riesco ad arrivarci dal punto di vista logico... come devo procedere per risolvere il problema
Nel piano ́e data la retta r di equazione y = x + 2. Determinare le equazioni delle eventuali rette uscenti dal punto P ≡ (1, 0) e formanti con l’asse delle ascisse e la retta r un triangolo di area 4.
Nel piano ́e data la retta r di equazione y = x + 2. Determinare le equazioni delle eventuali rette uscenti dal punto P ≡ (1, 0) e formanti con l’asse delle ascisse e la retta r un triangolo di area 4.
Risposte
Ciao, puoi procedere così: la generica retta passante per P è $$y=m\left(x-1\right)$$
La retta $r$ incontra l'asse delle ascisse nel punto \(\left(-2, 0\right)\), quindi il triangolo avrà vertici \(\left(-2, 0\right), \left(1, 0\right)\) e il punto di incontro tra la retta per P e la retta r. Troviamo questo terzo vertice: $$\begin{cases}y=x+2 \\ y = m\left(x-1\right)\end{cases}$$
Quando lo hai trovato, ovviamente in dipendenza da $m$, puoi ricordare che, dati i tre vertici di un triangolo, l'area si trova come $$
A = \frac{1}{2} \left|\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1
\end{matrix}\right|
$$
La retta $r$ incontra l'asse delle ascisse nel punto \(\left(-2, 0\right)\), quindi il triangolo avrà vertici \(\left(-2, 0\right), \left(1, 0\right)\) e il punto di incontro tra la retta per P e la retta r. Troviamo questo terzo vertice: $$\begin{cases}y=x+2 \\ y = m\left(x-1\right)\end{cases}$$
Quando lo hai trovato, ovviamente in dipendenza da $m$, puoi ricordare che, dati i tre vertici di un triangolo, l'area si trova come $$
A = \frac{1}{2} \left|\begin{matrix}
x_1 & y_1 & 1\\
x_2 & y_2 & 1\\
x_3 & y_3 & 1
\end{matrix}\right|
$$
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
risolto il sistema ottengo che x=(m+2)/(m-1) e y=3m/(m-1)
quindi pongo
$ 1/2| ( -2 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( (m+2)/(m-1) , (3m)/(m-1) , 1 ) | =4 $
e ottengo come soluzione m=-8
le soluzioni dovrebbero essere due... perchè disegnando i grafici sono 2 le rette uscenti da P che formano un triangolo di area 4 con le altre due rette
quindi pongo
$ 1/2| ( -2 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),( (m+2)/(m-1) , (3m)/(m-1) , 1 ) | =4 $
e ottengo come soluzione m=-8
le soluzioni dovrebbero essere due... perchè disegnando i grafici sono 2 le rette uscenti da P che formano un triangolo di area 4 con le altre due rette
"agadir92":
le soluzioni dovrebbero essere due
Hai messo il valore assoluto attorno al determinante della matrice?
no....dovrei mettero? cosa cambia?
Sì dovresti metterlo e cambia proprio perchè ti fornisce due soluzioni. Ad esempio $$
\left|x\right| = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \vee x = -4
$$
\left|x\right| = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 \vee x = -4
$$
Una interpretazione geometrico-analitica del problema.
Supponiamo sia APB il triangolo che risolve il problema ( vedi fig. allegata). La base BP è allora :
$BP=1-(-2)=3$
e quindi l'altezza AH relativa ad essa è :
$|AH|=(2*4)/3=8/3$
Pertanto il terzo vertice A del triangolo ABP richiesto si ottiene intersecando la retta data r con le rette di equazioni : $y=-8/3,y=+8/3$
Si ottengono così i punti $A(2/3,8/3)$ e $A'(-(14)/3,-8/3)$
Da qui è facile trovare le equazioni delle rette cercate AP e A'P.
perfetto chiarissimo grazie a tutti
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