[EX] Prodotto scalare

[Giso1]

Buongiorno, avrei bisogno di un aiuto con un esercizio, più che altro vi chiederei di aiutarmi a capire cosa mi chiede!
E' data la matrice $ ( ((t-1)^2 , 1-t, 0) , (t^2 -6t +12, t, 3) , (1, 1, 1) )$.
Inizialmente mi chiede di trovare al variare di $t$ una base del nucleo dell'applicazione lineare $l_{A_t}\:\V\to\V$ associata alla matrice e di discutere la triangolarizzabilità, e fin qui nessun problema.
Il terzo punto recita:
Sia $W_t\:\=\ Imm(l_{A_t})$ lo spazio vettoriale immagine associato all'endomorfismo $l_{A_t}$. Ricordando che $V$ è uno spazio con prodotto scalare, determinare al variare del parametro $t$ lo spazio vettoriale immagine di $W_t$ tramite l'applicazione aggiunta naturalmente associata a $l_{A_t}\:\V\to\V$.
Vorrei solo un chiarimento su cosa debba effettivamente fare rispetto a quest'ultimo punto..
Ciao e grazie!

[Giso1]

Uppo nella speranza che qualcuno mi possa aiutare..

[Sk_Anonymous]

Che io sappia l'applicazione aggiunta naturalmente associata a $l _{A_ t}$ ha, nel caso complesso, per matrice la trasposta coniugata della matrice data e nel caso reale la matrice trasposta. Pertanto occorre considerare dapprima i vettori dati dalle colonne della matrice data: discutendo rispetto al parametro t si otterranno quelle che sono indipendenti. Lo span delle immagini di tali vettori rispetto alla matrice trasposta sarà lo spazio vettoriale immagine di $W_t $.
Faccio un esempio nel caso $t=1$ ( gli altri casi sono $t=2,t=3, t ne 1,2,3 $)
Nel caso in esame la matrice data diventa :
$((0,0,0),(7,1,3),(1,1,1))$
Essa matrice ha rango =2 e quindi solo due colonne sono indipendenti. Per esempio la seconda e la terza :
(A) $((0),(1),(1)),((0),(3),(1))$
La trasposta della matrice data è :
$M=((0,7,1),(0,1,1),(0,3,1))$
Adesso si devono calcolare le immagini dei vettori (A) rispetto ad M e si ha :
$M cdot ((0),(1),(1))= ((8),(2),(4)) $
$M cdot ((0),(3),(1))= ((22),(4),(10)) $
In conclusione l'immagine richiesta è :
$Span<((4),(1),(2)) ,((11),(2),(5))>$
N.B. Questo procedimento è valido sempre che le basi di partenza e di arrivo siano ortonormali, come accade se esse sono quelle canoniche.

[Giso1]

Grazie per l'aiuto! Direi che il procedimento l'ho capito e pare anche relativamente semplice, ma nello specifico, cosa si intende per applicazione aggiunta naturalmente associata?

[Sk_Anonymous]

E' questione di teoria. Ogni operatore T su uno spazio vettoriale V, a dimensione finita e di prodotto scalare, possiede un operatore aggiunto T° definito da $ = $, per ogni coppia u,v di V ("<>"=prodotto scalare).
In particolare , se le basi su cui opera T sono ortonormali, allora la matrice associata a T° è la trasposta di quella associata a T se si opera in $mathbb{R}$ , la trasposta coniugata se si opera in $mathbb{C}$. Come ho già scritto.. Consulta il tuo testo per maggiori dettagli...