Proiezione lineare
Salve ragazzi..
Ho un bel problema con la funzione Proiezione Lineare.
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $U$, dimostrare che è sempre data una $K-$Proiezione Lineare su $U$, cioè un $\pi_U in Hom(V,V)$ con $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$.
Inoltre, è $\pi_U$ unica? E l'applicazione $\pi:V \to V$ che soddisfa $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$, è lineare?
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Ho un bel problema con la funzione Proiezione Lineare.
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $U$, dimostrare che è sempre data una $K-$Proiezione Lineare su $U$, cioè un $\pi_U in Hom(V,V)$ con $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$.
Inoltre, è $\pi_U$ unica? E l'applicazione $\pi:V \to V$ che soddisfa $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$, è lineare?
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
Chi e' $K$?
Comunque, prova a prendere una base di $U$ e completala a una base di $V$. Una volta scritto un vettore di $V$ in questa base, prova a definire (nel modo piu' naturale che ti viene in mente) una mappa da $V$ a $U$.
Comunque, prova a prendere una base di $U$ e completala a una base di $V$. Una volta scritto un vettore di $V$ in questa base, prova a definire (nel modo piu' naturale che ti viene in mente) una mappa da $V$ a $U$.
$k$ è il campo degli scalari. Allora la base di $U$ come: $B_U={u_1,....,u_s}$ e la base di $V$ sarà $B_V={u_1,....,u_s,v_(s+1),.......,v_n}$? Il generico vettore $v$ di $V$ sarà $v=$$\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i$+$\sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i$ ?
Così?
Così?
Esatto...ora pensiamo a cosa vuol dire proiettare su $U$. Il significato e' un po' "dimenticarsi di tutto quello che non succede su $U$". Quindi quale potrebbe essere una buona mappa di proiezione $V \to U$.
$\pi: V \to U$ con $\pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i)= \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i u_i $?
Esatto...
Quindi questa e' una possibile mappa di proiezione.
Come si potrebbe fare per fabbricarne altre? In particolare, che scelte abbiamo fatto per definire questa mappa di proiezione?
Quindi questa e' una possibile mappa di proiezione.
Come si potrebbe fare per fabbricarne altre? In particolare, che scelte abbiamo fatto per definire questa mappa di proiezione?
Beh devo variare i $\lambda$? O porre $ \pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i)= u_i $?
Attento...se poni $\pi(v) = u_i$ non e' piu' una proiezione su $U$ perche' su $U$ non vale l'identita' (e non e' neanche piu' lineare).
L'idea e' trovare un modo per scrivere $v$ con dei $\lambda$ diversi (almeno nelle direzioni delle $u_i$. Quindi la domanda diventa: da cosa dipendono i $\lambda_i$?
L'idea e' trovare un modo per scrivere $v$ con dei $\lambda$ diversi (almeno nelle direzioni delle $u_i$. Quindi la domanda diventa: da cosa dipendono i $\lambda_i$?
$ \pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \mu_i v_i)= u_i $ forse? intendi dire così?
No...questa non e' una proiezione e non e' neanche lineare!
Abbiamo detto che la nostra proiezione e' $\pi (\sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i) = \sum_1^s \lambda_i u_i $; in particolare se $v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i$ (per una qualche scelta di $\lambda_i$ che esistono e sono unici per definizione di base), allora $\pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i u_i$. Questa ci piace.
Intanto potremmo far vedere che in effetti e' una proiezione, cioe' far vedere che e' un'applicazione lineare (un po' di conti), che l'immagine e' contenuta in $U$ (quasi banale) e che vale l'identita' su $U$ (facile, per definizione).
Poi vogliamo occuparci dell'unicita'. Quindi dobbiamo chiederci: cosa abbiamo usato per definire questa applicazione?
Proviamo a rispondere a queste due domande prima di andare avanti.
Abbiamo detto che la nostra proiezione e' $\pi (\sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i) = \sum_1^s \lambda_i u_i $; in particolare se $v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i$ (per una qualche scelta di $\lambda_i$ che esistono e sono unici per definizione di base), allora $\pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i u_i$. Questa ci piace.
Intanto potremmo far vedere che in effetti e' una proiezione, cioe' far vedere che e' un'applicazione lineare (un po' di conti), che l'immagine e' contenuta in $U$ (quasi banale) e che vale l'identita' su $U$ (facile, per definizione).
Poi vogliamo occuparci dell'unicita'. Quindi dobbiamo chiederci: cosa abbiamo usato per definire questa applicazione?
Proviamo a rispondere a queste due domande prima di andare avanti.
ah,ok. Non mi è chiaro "far vedere che l'immagine è contenuta in $U$ 
Per l'unicità, si può mostrare procedendo per assurdo?
Per l'unicità, si può mostrare procedendo per assurdo?
Beh, per definizione di base, $U$ e' spannato da $u_1 , ... , u_s$. Ora, per ogni $v \in V$, l'immagine $\pi(v)$ e' spannata da $u_1, ... , u_s$ quindi e' contenuta in $U$.
Per l'unicita', ripeto
Per l'unicita', ripeto
Quindi dobbiamo chiederci: cosa abbiamo usato per definire questa applicazione?
ok.
Abbiamo usato $v_i$ della $B_V$
Abbiamo usato $v_i$ della $B_V$
Esattamente, quindi cosa succede se completiamo la base $u_1 , .. , u_s$ di $U$ con dei $w_{s+1},...,w_{n}$ diversi da $v_{s+1},...,v_{n}$ che abbiamo usato prima? Come cambiano le coordinate di un vettore $v \in V$.
$ \pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i w_i $? giusto? perchè invece dei $v_i$ ho i $w_i$?
Cioè $ v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i w_i $?
Cioè $ v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i w_i $?
Attento. Non abbiamo toccato la base di $U$. Abbiamo cambiato solo i vettori del completamento. La nostra proiezione deve ancora proiettare su $U$.
Ma come cambiano le coordinate di $v \in V$? (lasciando perdere la proiezione...abbiamo cambiato base, quindi le coordinate cambieranno: ci chiediamo come cambiano).
Ma come cambiano le coordinate di $v \in V$? (lasciando perdere la proiezione...abbiamo cambiato base, quindi le coordinate cambieranno: ci chiediamo come cambiano).
Ma la $B_U={u_1,....,u_s}$ e la proiezione è $ \pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i $. Come posso fare?
$B_V={u_1,....,u_s,v_(s+1),.....v_n}$ e quindi non cambierebbe la base di $V$ che diventerebbe $B_V={u_1,....,u_s,w_(s+1),.....,w_n}$?
$B_V={u_1,....,u_s,v_(s+1),.....v_n}$ e quindi non cambierebbe la base di $V$ che diventerebbe $B_V={u_1,....,u_s,w_(s+1),.....,w_n}$?
La proiezione $\pi$ dipende dalla base che abbiamo scelto $u_1,...,u_s,v_{s+1},...,v_n$ ed e' $\pi(v) = \sum \lambda_i u_i$, dove le $\lambda_i$ sono le coordinate di $v$ nelle direzioni delle $u_i$ nella base scelta.
Ora cambiamo base, non a caso, ma cambiando solo il completamento. Consideriamo quindi la base $u_1,...,u_s,w_{s+1},...,w_n$ (con le $w_j$ diverse dalle $v_j$). A questo punto le coordinate cambieranno. Se prima $v = \sum \lambda_i u_i + \sum \lambda_i v_i$, adesso, lo stesso $v$ avra' coordinate diverse (in tutti i vettori); ad esempio sara' $v = \sum \mu_i u_i + \sum \mu_i w_i$.
Definiamo una diversa proiezione, che dipende da questa nuova base, e la chiamiamo $\rho$, definita come $\rho (v) = \sum \mu_i u_i$, dove le $\mu_i$ sono le coordinate nelle direzioni delle $u_i$ nella nuova base.
Ora vogliamo dimostrare che $\rho \ne \pi$. Quindi vogliamo in qualche modo osservare che le $\lambda_i$ sono diverse dalle $\mu_i$. Quindi bisogna capire come cambiano queste coordinate.
Prova a farti un esempio in $\mathbb{R}^2$ con $s = 1$; consideriamo $u_1 = (1,0)$, $v_2 = (0,1)$ e $w_2 = (1,1)$. Prendiamo un vettore $v = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 v_2 = \mu_1 u_1 + \mu_2 u_2$ e prova a vedere che relazione c'e' tra le $\lambda$ e le $\mu$.
Ora cambiamo base, non a caso, ma cambiando solo il completamento. Consideriamo quindi la base $u_1,...,u_s,w_{s+1},...,w_n$ (con le $w_j$ diverse dalle $v_j$). A questo punto le coordinate cambieranno. Se prima $v = \sum \lambda_i u_i + \sum \lambda_i v_i$, adesso, lo stesso $v$ avra' coordinate diverse (in tutti i vettori); ad esempio sara' $v = \sum \mu_i u_i + \sum \mu_i w_i$.
Definiamo una diversa proiezione, che dipende da questa nuova base, e la chiamiamo $\rho$, definita come $\rho (v) = \sum \mu_i u_i$, dove le $\mu_i$ sono le coordinate nelle direzioni delle $u_i$ nella nuova base.
Ora vogliamo dimostrare che $\rho \ne \pi$. Quindi vogliamo in qualche modo osservare che le $\lambda_i$ sono diverse dalle $\mu_i$. Quindi bisogna capire come cambiano queste coordinate.
Prova a farti un esempio in $\mathbb{R}^2$ con $s = 1$; consideriamo $u_1 = (1,0)$, $v_2 = (0,1)$ e $w_2 = (1,1)$. Prendiamo un vettore $v = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 v_2 = \mu_1 u_1 + \mu_2 u_2$ e prova a vedere che relazione c'e' tra le $\lambda$ e le $\mu$.
Ok..ora mi è tutto chiaro 
c'era un errore nella scrittura prima.
Grazie mille
c'era un errore nella scrittura prima.Grazie mille
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