Matrice unitaria Reale

[Cuppls1]

Buongiorno,
Devo rispondere vero o falso motivando, a questo:

Una matrice unitaria reale ammette almeno un autovalore reale.

Adesso ho qualche dubbio, mi viene da pensare che sia sbagliato il testo in quanto le matrici unitarie sono complesse.
Se si intende che questa matrice ha coefficienti reali ho visto che non è vero prendendo ad esempio la matrice

$((0,1),(-1,0))$

Altrimenti se è sbagliato il testo non saprei come partire per dimostrare.
Chiedo il vostro aiuto per la giusta interpretazione di questa domanda!

[j18eos]

Scusa, la risposta è falsa! Hai pure fornito un esempio: cosa ti turba?

[Cuppls1]

le parole unitaria e reale vicine, non spevo sicuro fosse questa l'interpretazione corretta

[Epimenide93]

Ma non è "unitaria reale" \(\iff\) "ortogonale"?

[j18eos]

Uffaaa...

Per definizione \(\displaystyle U\in\mathbb{C}^n_n\) è unitaria se e solo se \(\displaystyle\det U\neq0,U^{-1}=\overline{U}^T\); quindi se \(\displaystyle U\) è a soli coefficienti reali è una matrice ortogonale reale, e perciò essa è diagonalizzabile(?) EDIT No, e l'esempio è stato fatto!

@Cuppls [strike]Secondo me, io e te abbiamo fatto lo stesso[/strike] Io ho fatto un errore nel calcolo del polinomio caratteristico di quella matrice.

[Cuppls1]

Ok quindi quella nel mio esempio è ortogonale reale!
Non diagonalizzabile

[j18eos]

Chiarito il primo punto: le matrici ortogonali non hanno sempre autovalori reali;

chiarifico un secondo punto: le matrici reali simmetriche sono diagonalizzabili, ed esse sono simili a una matrice diagonale mediante una matrice ortogonale... Mi sono ricordato bene?

[Cuppls1]

Esatto! Per il teorema spettrale!