Chiarimento sulla dimostrazione del teorema di Grassman
La dimostrazione del teorema l'ho capito, quello che non capisco è come dimostrare che le basi sono linearmente indipendenti.
io ho $0=a_1v_1+...+a_rv_r+b_(r+1)u_(r+1)+...+b_pu_p+y_(r+1)w_(r+1)+...+y_qw_q$
che equivale a dire $0=v+u+w$
ora dato che $w=-v-u$ e $winW$ e $v,uinU$ (perchè v è una base di $UnnW$) $w=UnnW$ cioè appartiene sia a U che a W
e ora inizia il pezzo che non capisco...lo scrivo e basta
$w=delta_1v_1+...+delta_rv_r=gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
$0=delta_1v_1+...+delta_rv_r-gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
e quindi $(v_1,v_r,w_(r+1),w_q)$ è una base di w e sono quindi linearmente indipendenti $=>delta_1=0,delta_r=0,gamma_(r+1)=0,gamma_q=0$
$0=v+u$
non capisco proprio l'ultima parte....grazie dell'attenzione
io ho $0=a_1v_1+...+a_rv_r+b_(r+1)u_(r+1)+...+b_pu_p+y_(r+1)w_(r+1)+...+y_qw_q$
che equivale a dire $0=v+u+w$
ora dato che $w=-v-u$ e $winW$ e $v,uinU$ (perchè v è una base di $UnnW$) $w=UnnW$ cioè appartiene sia a U che a W
e ora inizia il pezzo che non capisco...lo scrivo e basta
$w=delta_1v_1+...+delta_rv_r=gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
$0=delta_1v_1+...+delta_rv_r-gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
e quindi $(v_1,v_r,w_(r+1),w_q)$ è una base di w e sono quindi linearmente indipendenti $=>delta_1=0,delta_r=0,gamma_(r+1)=0,gamma_q=0$
$0=v+u$
non capisco proprio l'ultima parte....grazie dell'attenzione
Risposte
forse dico una cosa non vera... ma io credo che questo si giustifichi considerando il teorema di completamento ad una base...
tu hai una base di $V$ composta da $r$ vettori; per il teorema completamento questa base ad una base di $W$, considerando $q-r$ vettori hai ancora una base di $W$ da qui segue quindi la lineare indipendenza. Però ripeto potrei aver sbagliato... attendiamo conferme!
tu hai una base di $V$ composta da $r$ vettori; per il teorema completamento questa base ad una base di $W$, considerando $q-r$ vettori hai ancora una base di $W$ da qui segue quindi la lineare indipendenza. Però ripeto potrei aver sbagliato... attendiamo conferme!
Innanzitutto chi sono i vettori che utilizzi? La prossima volta cerca di spiegarlo, altrimenti non si capisce cosa sono gli oggetti che stai maneggiando e difficilmente qualcuno ti aiuterà!
Se non ho capito male, $v_1,...,v_r$ dovrebbe essere una base di $U\cap W$ di dimensione $r$. Poi $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p$ dovrebbe essere una base di $U$ di dimensione $p$ e infine $v_1,...,v_r,w_{r+1},...,w_q$ una base di $W$ di dimensione $q$ (esistono basi siffatte per il teorema del completamento della base che ha citato mistake89).
Vuoi provare la lineare indipendenza di $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p,w_{r+1},...,w_q$.
Dovresti aver posto (ma non l'hai detto)
(*) $w=y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q$
Visto che -hai provato- $w\in U\cap W$, tale vettore si scrive come combinazione dei vettori della base fissata di $U\cap W$, cioè
(**) $w=\delta_1v_1+...+\delta_r v_r$
Uguagliando la (*) con la (**), si ottiene che
$y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q=\delta_1 v_1+...+\delta_r v_r$
$\Rightarrow\ \ y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q-\delta_1 v_1-...-\delta_r v_r=0$
Visto che $v_1,...,v_r,w_{r+1},...,w_q$ è una base di $W$ (e in particolare sono linearmente indipendenti) segue che tutti i coefficienti sono nulli cioè
$y_{r+1}=...=y_q=\delta_1=...=\delta_r=0$
Sostituendo nella relazione iniziale, si ottiene
$a_1v_1+...+a_rv_r+b_{r+1}u_{r+1}+...+b_pu_p=0$
Da cui, dalla lineare indipendenza di $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p$, segue che $a_1=...=a_r=b_{r+1}=...=b_p=0$.
Ciao!
Se non ho capito male, $v_1,...,v_r$ dovrebbe essere una base di $U\cap W$ di dimensione $r$. Poi $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p$ dovrebbe essere una base di $U$ di dimensione $p$ e infine $v_1,...,v_r,w_{r+1},...,w_q$ una base di $W$ di dimensione $q$ (esistono basi siffatte per il teorema del completamento della base che ha citato mistake89).
Vuoi provare la lineare indipendenza di $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p,w_{r+1},...,w_q$.
Dovresti aver posto (ma non l'hai detto)
(*) $w=y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q$
Visto che -hai provato- $w\in U\cap W$, tale vettore si scrive come combinazione dei vettori della base fissata di $U\cap W$, cioè
(**) $w=\delta_1v_1+...+\delta_r v_r$
Uguagliando la (*) con la (**), si ottiene che
$y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q=\delta_1 v_1+...+\delta_r v_r$
$\Rightarrow\ \ y_{r+1}w_{r+1}+...+y_qw_q-\delta_1 v_1-...-\delta_r v_r=0$
Visto che $v_1,...,v_r,w_{r+1},...,w_q$ è una base di $W$ (e in particolare sono linearmente indipendenti) segue che tutti i coefficienti sono nulli cioè
$y_{r+1}=...=y_q=\delta_1=...=\delta_r=0$
Sostituendo nella relazione iniziale, si ottiene
$a_1v_1+...+a_rv_r+b_{r+1}u_{r+1}+...+b_pu_p=0$
Da cui, dalla lineare indipendenza di $v_1,...,v_r,u_{r+1},...,u_p$, segue che $a_1=...=a_r=b_{r+1}=...=b_p=0$.
Ciao!
riporto di seguito la dimostrazione del teorema e i miei dubbi in merito ad esso
e qui la mia prima domanda ? affinche si possa applicare il teorema del completamento devono verificarsi le ipotesi di questo;in particolare devono esistere dei vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale $ Uuu W $ .Chi mi garantisce la loro presenza?inoltre il teorema del completamento non mi garantisce di sostituire dei vettori della base di $U uu W$ con vettori linearmente indipendenti sempre di $U uu W$?Non capisco come venga applicato tale teorema del completamento.
e continuando con la dimostrazione
e qui un altro mio dubbio:perchè $w in U$ ? il fatto che $w=-u-v$ e che $u$ e $v$ $inU$ non mi pare che possa implicare $w in U$
e qui terminano i miei dubbi .riporto comunque la parte finale della dimostrazione
grazie in anticipo
e qui la mia prima domanda ? affinche si possa applicare il teorema del completamento devono verificarsi le ipotesi di questo;in particolare devono esistere dei vettori linearmente indipendenti dello spazio vettoriale $ Uuu W $ .Chi mi garantisce la loro presenza?inoltre il teorema del completamento non mi garantisce di sostituire dei vettori della base di $U uu W$ con vettori linearmente indipendenti sempre di $U uu W$?Non capisco come venga applicato tale teorema del completamento.
e continuando con la dimostrazione
e qui un altro mio dubbio:perchè $w in U$ ? il fatto che $w=-u-v$ e che $u$ e $v$ $inU$ non mi pare che possa implicare $w in U$
e qui terminano i miei dubbi .riporto comunque la parte finale della dimostrazione
grazie in anticipo
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