Nucleo e immagine di un'applicazione lineare....dubbio

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Ciao ragazzi, mi è sorto un dubbio guardando un esercizio su internet

Data per esempio un applicazione lineare $ f : RR^3 ---> RR^3 $ e dati

$ f (1,1,1)= (1,1,0) $
$ f (0,1,1) = (1,0,1) $
$ f ( 0,-1,1) = (0,0,0) $

Trovare $ Im $ e $ Ker (f) $

Prima bisogna vedere se $ ((1,1,1), (0,1,1), (0,-1,1) $ sono linearmente indipendenti.

Fatto questo devo mettere i 3 vettori $ ((1,1,0) , (1,0,1) , (0,0,0) $ in forma matriciale per trovare l immagine. Qua arriva il problema , non riesco a capire perche li mette in vettori colonna i questo modo

$ ( (1,1,0) , (1,0,0) , (0,1,0) ) $

Se li mettevo i vettori come vettori riga era sbagliato (non so quando metterli in riga e quando in colonna).

Calcolando l immagine tramite gauss viene

$( (1,1,0) , (0,1,0) , (0,0,0) $

Quindi l immagine ha dimensione 2. Ecco qua dice che non posso prendere i 2 vettori semplificati, ma devo prendere 2 vettori colonna della prima matrice, ossia $(1,1,0) e (1,0,1) $

Non riesco proprio a capire queste due cose!!

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Quindi

$ t(0,1,1) • ( (0,1/2,1/2), (1,0,0) , (-1,1/2,1/2) ) = (1,0,1) $

$ t(1,1,1) • ( (0,1/2,1/2) , (1,0,0) , (-1,1/2,1/2) ) = (1,1,0) $

$ t(0,1,-1) • ( (0,1/2,1/2), (1,0,0) , (-1,1/2,1/2) ) = (0,0,0) $

Mi vengono, ma non riesco a capire da dove venga quel 1/2:

$ f(0,0,1)=f[1/2(0,1,1)+1/2(0,1,−1)] $

e non riesco a capire come fare quelle sottrazioni

$ f (1,0,1) = f(v1)-f(v2) $
$ f (0,1,0) = f(v2)-f(v3) $
$ f (0,0,1) = f(v2)-f(v3) $

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Grazie tante!!!ora mi è chiaro come trovare la matrice associata che in questo caso vale:

$ ( (0,1/2,1/2), (1,0,0), (-1,1/2,1/2) ) $

Anche la verifica è soddisfatta!

A questo punto per trovare l'immagine bisogna fare la riduzione con Gauss e vedere la dimensione dell'immagine di quest ultima matrice.

$ ( (0,1/2,1/2) , (0,1/2,1/2) , (0,1/2,1/2) ) $

Dimensione immagine: 1 , quindi prendo uno dei 3 vettori della matrice associata ed è una base dell immagine

$ b1= [ [0],[1],[-1] ] $

Se la dimensione dell immagine e 1, il nucleo ha dimensione 2 ed è nella forma:

$ [ [0], [-z], [z] ] $

Quindi

$ b1= [ [0], [-1], [1] ] $

$ b2 = [ [0], [3] , [-3] ] $

Ho sbagliato qualche procedimento?

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In effetti avevo sbagliato pure a calcolare il rango, veniva rango 2
Comunque ora ho messo a posto le idee ed ho più o meno capito come fare ( ho ridotto per righe perche prima che chiedessi qua avevo un casino totale in testa (mettevo pure i vettori in riga e non in colonna) ).Grazie dell'aiuto Sergio! Buon natale!