Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Devo risolvere questo esercizio:
Data questa applicazione lineare associata da R4 -> R3:
$( (k,2k-1,2-k,1),<br />
(2,4+k,-2k-2,-k),<br />
(-1,-4,5,2))$
Trovare per quanti valori di k il vettore v (-k,2,3) appartiene all'immagine di f.
Io ho calcolato per quali valori di k il rango di questa matrice viene uguale a 2 (ovvero 2=dim Im f)
cioè $k=4$ e $k=-1/2$
Poi ho verificato che il vettore v sia combinazione lineare di due dei vettori di partenza calcolando il determinante della seguente matrice e ponendolo = ...
Ciao,
Ho un problema con un esercizio, il quale mi ha fatto sorgere dei dubbi sulla determinazione dell'autospazio di una matrice.
Allora, io ho una matrice fatta così:
-5 -2
-3 0
i cui autovalori sono 6 e -1.
Adesso: devo ricavare per ciascuno dei due autovettori l'autospazio, ovvero l'autovettore da essi generato.
Io procedo così: sostituisco nella matrice gli autovalori, ricavando:
autovalore: 6
-1 -2
-3 -6
Imposto il sistema:
{ -1V1 - 2V2 = 0 --> { V1 = -2V2
{ -3V1 - 6V2 = ...
Ciao a tutti ,c'è questo esercizio ( molto breve ) che non sono riuscito a svolgere :
Esiste una matrice A ( appartente alle matrici 3x3 di R ) non nulla e tale che Im La è inclusa in Ker La ?
Grazie
Ciao potete aiutarmi? ho problemi per trovare le rette immaginarie... il testo dell'esercizio è: studiare la conica di equazione 2x^2 + 2xy + y^2 + 2x +1 e trovare le rette. Ho studiato la conica attraverso le matrici e ho visto che si spezza in due rette immaginarie ma non so come si trovino le equazioni delle rette. Grazie
Salve a tutti ,volevo chiedervi delucidazioni in merito a questo esercizio :
"Determinare l'applicazione lineare L
$ L:R^3->R^3 $ che soddisfi le seguenti condizioni :
a) $ dimKer(L)=2 $
b) $ L(1,0,0)=(0,-1,2) $
c) L ha come autovalore 1 con molteplicità 2
Poi mi chiede di trovarne gli autovalori,una base per gli autovettori di L ,e se L è diagonalizzabile .
Dunque io non riesco a impostarlo , nel senso che non riesco a cogliere le informazioni dalle condizioni date :
il fatto ...
Salve a tutti! Volevo chiedere informazioni su due dimostrazioni (tenete conto che il livello è quello di un corso di Algebra Lineare di una matricola) riguardanti lo spazio duale e il doppio duale.
La prima è la seguente: dimostrare che $V$ s.v su $K$ campo è isomorfo a $V^°$ (il suo duale).
Naturalmente ci sono due dimostrazioni: una tramite le basi e quindi definendo un isomorfismo esplicito (che non sto qui a riproporre) e la seguente:
Definiamo ...
salve gente!!
vorrei chiedere a qualcuno di navigato la definizione di trasformazione lineare e omomorfismo perche guardando su internet su vari siti ho trovato varie definizioni e alcuni talvolta parlano di trasformazione lineare o di omomorfismo indistintamente mentre a volte paiono essere due cose diverse...
a me pare che una trasformazione lineare sia un omomorfismo di spazi vettoriali,cioè un particolare caso di omomorfismo in cui la struttura algebrica è lo spazio vettoriale.
dico ...
Salve ragazzi, ho una certa difficoltà nel trovare la matrice associata all'applicazione lineare, nel senso conosco la teoria (cioè che dalle immagini che ho devo riuscire a ricavare, tramite delle operazioni, la base canonica)ma mi viene difficile metterla in pratica in questo esercizio.
Data l'applicazione linare
$f(2,1,1)=(2h+2,h+1,h+3)$
$f(1,0,1)=(h+1,h+1,h+1)$
$f(0,1,1)=(2,h-1,h+1)$
Da queste immagini come faccio a ricavarmi la base canonica?
ho deciso "amatorialmente" di studicchiare qualche concetto di base dell'algebra lineare e avrei qualche dubbio a riguardo di alcuni concetti inerenti all'argomento piu generale delle strutture algebriche
in primis la definizione di quasigruppo:
Un quasigruppo è un magma $ \( (Q,*) \) $ dove $ Q $ è un insieme, \( * \) una operazione binaria \( *:Q \times Q\rightarrow Q \) tale che per ogni \( a,b \) in \( Q \) esiste un unico elemento \( x \) e un unico ...
Salve, martedì ho l'esame di Algebra e sono in crisi con questo tipo di esercizio.
Sia f l’endomorfismo di R^3 la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica e:
A: 3 1 −3
3 −1 −3
1 1 −1
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base di R^3 formata dai vettori (2, 1, 1), (1, 0, 1), (1, −1, 1).
Ora il mio problema è questo. Finché ho per esempio un equazione lineare non ho problemi nel fare il cambiamento di base. Ma data una questa matrice non ho idea ...
Ho bisogno di una conferma su degli esercizi stupidi, ma non gli ho mai fatti e volevo sapere se è giusto ciò che ho fatto.
Sia data la retta $r$ in forma cartesiana:
$ \{ x - y + z = -2 $
$ \{ 2x - y + 3z = 1 $
(a) Trovare il piano passante per $r$ e per $P = (1;1;1)$ Io ho pensato che poiché la retta in forma cartesiana è un intersezione tra piani, posso prendere il fascio di piani generato da quei due:
$ a( x - y + z +2 ) + b( 2x - y +3z -1 ) = 0 $
E imporre il passaggio per ...
La prof ci ha dato questa definizione di matrici ortogonali:
$ A in M_n(RR), A$ è orogonale se $<A\vec u,A\vec v> = <\vec u,\vec v>$ e questo vuol dire che $A$ conserva il prodotto scalare.
Ecco , cosa vuol dire che conserva il prodotto scalare?
Io vedo che se applico $A$ o meno ( a entrambi i vettori) è indifferente, ma formalmente cosa vuol dire conservare il prodotto scalare?
Grazie
Salve,
sono alle prese con questo esercizio
a) Sia $T : CC_2[x]\toCC_2[x]$,
$T(a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_0x^2 + (a_1 − 2a_2)x − a_2 + a_1.$
Si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $S : CC_2[x]\toCC_2[x]$ tale che
$S ◦ T = T ◦ S$ sia l’identita’.
Credo che $S$ sia l'inversa di $T$ soltanto che non so come cominciare, non so come impostare l'esercizio sotto forma di matrice per poi procedere al calcolo.
Avevo anche pensato di stabilire un isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e $CC^3$, ma anche in ...
Salve a a tutti, sono appena arrivato ed ho già bisogno del vostro aiuto, non riesco a dimostrare la formula che segue per il calcolo della matrice inversa:
$ COF(A)^T * A = det(A)*I $
da cui
$ {COF(A)^T}/ det(A) = A^-1 $
dove A è la matrice di cui voglio calcolare l'inversa e $ COF(A)^T $ la matrice dei colatori trasposta relativa ad A. Mentre I è la matrice identità.
potete aiutarmi?
Salve,
Devo vedere se è vera o falsa questa affermazione:
$A,B$ diagonalizzabili, allora $A,B$ simili $iff$ hanno lo stesso polinomio caratteristico.
$Leftarrow$ ce l'ho, già l'ho verificata.
Mi manca $Rightarrow$
Mi viene da dire che $A,B$ hanno stesso polinomio caratteristico, quindi stessi autovalori e siccome sono entrambe diagonalizzabili, sono simili alla stessa matrice $D$ e quindi simili tra loro, ma sento che ...
Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere il seguente esercizio? Esiste un prodotto scalare non degenere su $R^3$ per il quale:
$<e_1, e_1> = 2$
$<e_2, e_2> = -2$
$<e_1 + e_2, e_3> =-6$
?
Grazie in anticipo
Salve,
questo esercizio sulle applicazioni lineari mi sta creando diversi problemi:
"Sia $ f :$ $R^3$$->$ $R^3$ l'applicazione lineare tale che
$(1; 2;-1)$ $in$ $V_-2$; $(2; 1; 1)$ $in$ $V_3$; $f(-2; 0; 3) = (10; 19; 1)$.
Scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica.
Studiare la diagonalizzabilita di f."
La mia ipotesi risolutiva sarebbe questa:
verifico che i vettori ...
Studiando da wikipedia ho imparato che:
Un isomorfismo è una funzione tra due spazi, tale che essa stessa e la sua inversa siano omomorfismi.
Un omomorfismo è una funzione tra due spazi che conserva la struttura algebrica.
Inoltre ho trovato un'altra definizione di isomorfismo:
Data $f:X->Y$, è isomorfismo se esiste $f^{-1}:Y->X$, $f$ tale che $f \ f^{-1} = Id_Y$ ed $f^{-1} f=Id_X$.
Intanto mi sembra che quest'ultima definizione sia più generale, in quanto non ...
Ciao a tutti!, sono un nuovo utente: dovrei risolvere questo esercizio sulle applicazioni lineari ma non so proprio da dove partire. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi o almeno indicarmi la strada!
Sia ${e1, e2, e3}$ la base canonica di $R^3$ e sia $f : R3 →R3$ l’applicazione lineare t.c. $f(e1+e2) = e1, f(e1−e3) = e2, f(e1−e2+e3) = e1.$ Allora si ha:
1) $f(e1 + 2e3) = 2e1 + e2$
2) $f(e1 + 2e3) = 2e1 − e2$
3) $f(e1 + 2e3)$ non si può calcolare con i dati a disposizione
4) $f(e1 + 2e3) = e1 + e2 $
5) f non `e ben ...
Il teorema che ho cercato di dimostrare è questo:
Sia [tex]K[/tex] un generico campo.
Sia [tex]A\in M_n(K)[/tex], allora [tex]A\in GL_n(K) \Leftrightarrow r(A)=n[/tex]
Ipotesi: [tex]A\in GL_n(K)[/tex]
Tesi: [tex]r(a)=n[/tex]
Per la dimostrazione in questo verso, ragiono con la negazione della tesi, quindi per ipotesi [tex]r(A)
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