Esercizio sui prodotti scalari

[luca7111]

Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere il seguente esercizio? Esiste un prodotto scalare non degenere su $R^3$ per il quale:
$ = 2$
$ = -2$
$ =-6$
?
Grazie in anticipo

[jJjjJ1]

Si esiste, basta che trovi un esempio...Cerca di ragionare sulla matrice di Gram

[luca7111]

Un aiutino?

[jJjjJ1]

Piccolo ripasso di teoria

Sia $< ; >: R^n \rightarrow R$ un prodotto scalare sullo spazio $R^n$. Sia $ \beta_1 = \{ v_1, . . . , v_n \} $ base di $R^n$

Siano $v = x_1 v_1 + . . . + x_n v_n$ e $u = y_1 v_1 + . . . + y_n v_n$ vettori di tale spazio, allora possiamo calcolare il prodotto scalare tra di essi ( ricordando le proprietà di un prodotto scalare ):

$< v; u > = < x_1 v_1 + . . . + x_n v_n ; y_1 v_1 + . . . + y_n v_n > = \sum_{i=1, . . . , n ; j = 1, . . . , n} x_i y_j < v_i; v_j > $

Allora se prendiamo $X$ vettore delle coordinate di $v$ rispetto a $\beta_1$ e $Y$ vettore delle coordinate di $u$ rispetto a $\beta_1$, e presa la matrice $C = ( c_{ij} ) = $ possiamo esprimere il prodotto scalare tra vettori tramite le loro coordinate rispetto ad una base prefissata, ponendo:

$ < v ; u > = ^T X C Y $

Osserva che la matrice C è una matrice simmetrica che ha come componente di posto $i j$ il prodotto scalare del $i$-esimo vettore della base per il $j$-esimo

Nel tuo caso devi pensare che, rispetto alla base canonica, la matrice ha due valori "fissi". Ovvero i primi due elementi della diagonale, che corrispondono al p.s. del primo vettore della base con se stesso ( $ = 2$) e al p.s. del secondo vettore con se stesso ($ = -2$)

Adesso basta che aggiusti le altre componenti della matrice ( ricorda che deve essere simmetrica ) in modo da avere $ = + = -6$

Mi fermo qui