Come dimostrare il teorema degli orlati

[Maturando]

Mi chiedo se c'è qualche gentile anima pia che può illuminarmi a riguardo...mi chiedevo se c'è una dimostrazione semplice ed essenziale per dimostrare questo teorema...in mancanza di queste vanno bene anche dimostrazioni complesse

[maurer]

Supponiamo che esista un minore di ordine [tex]r[/tex] a determinante non nullo e che tutti i suoi orlati di ordine [tex]r+1[/tex] abbiano determinante nullo. A meno di un riordinamento di righe e colonne, che sappiamo non cambiare il rango della matrice, possiamo supporre che il minore in questione occupi le prime r righe e le prime r colonne. Consideriamo il minore individuato dalle prime r+1 righe e dalle prime r+1 colonne. Dal momento che è un orlato del minore scelto all'inizio, ha determinante nullo e quindi le sue righe sono linearmente dipendenti. D'altronde le prime r righe sono linearmente indipendenti e quindi è possibile scrivere l'ultima riga come combinazione lineare delle altre. In conclusione possiamo far comparire degli zeri nelle entrate [tex](i,r+1)[/tex] per [tex]i = 1,2,\ldots, r+1[/tex], senza alterare il rango della matrice. Analogo discorso vale per le colonne e quindi possiamo, mediante operazioni sulle colonne, far comparire degli zeri nelle entrate [tex](r+1,j)[/tex] per [tex]j = 1, 2, \ldots, r+1[/tex]. Poi possiamo scambiare le righe [tex]r+1[/tex] e [tex]r+2[/tex] e ripetere l'operazione e fare lo stesso con le colonne [tex]r+1[/tex] e [tex]r+2[/tex]. Iterando questo procedimento otteniamo infine una matrice completamente nulla ad eccezione delle prime [tex]r[/tex] righe e [tex]r[/tex] colonne, che sono linearmente indipendenti. Quindi il rango della matrice è [tex]r[/tex].

Viceversa, supponiamo che la matrice abbia rango [tex]r[/tex]. Allora esistono [tex]r[/tex] righe linearmente indipendenti e [tex]r[/tex] colonne linearmente indipendenti. A meno di un riordinamento di righe e colonne, possiamo supporre che si tratti delle prime r righe e delle prime r colonne. Supponiamo ora che esista un orlato del minore formato dalle prime r righe e r colonne il cui determinante non sia nullo. Sempre a meno di un riordinamento di righe e colonne possiamo supporre che questo orlato coincida con quello ottenuto scegliendo le prime r+1 righe e le prime r+1 colonne. Ma allora operando la riduzione di Gauss è facile vedere che ci sono almeno r+1 righe indipendenti e questo contraddice il fatto che il rango della matrice fosse r.

Ti convince?

[Maturando]

"maurer":Supponiamo che esista un minore di ordine r a determinante non nullo e che tutti i suoi orlati di ordine r+1 abbiano determinante nullo. A meno di un riordinamento di righe e colonne, che sappiamo non cambiare il rango della matrice, possiamo supporre che il minore in questione occupi le prime r righe e le prime r colonne. Consideriamo il minore individuato dalle prime r+1 righe e dalle prime r+1 colonne. Dal momento che è un orlato del minore scelto all'inizio, ha determinante nullo e quindi le sue righe sono linearmente dipendenti

E fin qui ti seguo.

Ok che le colonne che si trovan dopo queste appartenenti al minore sono linearmente dipendenti. Quando parli di entrate di 0 dici di metterli tra la prima colonna linearmente dipendente e l'ultima del minore considerato, ok, non fanno cambiare nulla. MI sono un pò perso dopo...cioè non capisco come si fanno ad avere tutti 0 dopo il minore rxr...

[asromavale1]

riporto la dimostrazione del teorema degli orlati come viene presentato dal mio testo ed espongo i miei dubbi fiducioso che qualcuno possa aiutarmi



e qui il mio primo dubbio: perchè qualunque sottomatice di ordine $r+1$ dovrebbe avere determinante nullo?
ma proseguiamo



secondo dubbio:perchè siccome $rgA=r$ esistono $r$ colonne di A linearmente indipendenti? $A$ non è una matrice quadrata,quale teorema viene utilizzato?
proseguendo:


non capisco la liceità di queste due affermazioni. sono la conseguenza di quale teorema?
ancora avanti:


perchè il rango di $A$ non può essere inferiore a $r$?

ed ancora:


non capisco la consequenzialità di questa affermazione


infine il teorema si conclude :


grazie in anticipo