Esercizio applicazioni lineari polinomi
Salve,
sono alle prese con questo esercizio
a) Sia $T : CC_2[x]\toCC_2[x]$,
$T(a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_0x^2 + (a_1 − 2a_2)x − a_2 + a_1.$
Si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $S : CC_2[x]\toCC_2[x]$ tale che
$S ◦ T = T ◦ S$ sia l’identita’.
Credo che $S$ sia l'inversa di $T$ soltanto che non so come cominciare, non so come impostare l'esercizio sotto forma di matrice per poi procedere al calcolo.
Avevo anche pensato di stabilire un isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e $CC^3$, ma anche in questo caso non saprei come procedere.
Vorrei un input, per poi provare a procedere da solo.
Ringrazio chi mi darà una mano!
sono alle prese con questo esercizio
a) Sia $T : CC_2[x]\toCC_2[x]$,
$T(a_2x^2 + a_1x + a_0) = a_0x^2 + (a_1 − 2a_2)x − a_2 + a_1.$
Si trovi (se possibile) un’applicazione lineare $S : CC_2[x]\toCC_2[x]$ tale che
$S ◦ T = T ◦ S$ sia l’identita’.
Credo che $S$ sia l'inversa di $T$ soltanto che non so come cominciare, non so come impostare l'esercizio sotto forma di matrice per poi procedere al calcolo.
Avevo anche pensato di stabilire un isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e $CC^3$, ma anche in questo caso non saprei come procedere.
Vorrei un input, per poi provare a procedere da solo.
Ringrazio chi mi darà una mano!
Risposte
L'isomorfismo e la matrice si costruisce attraverso una base. Prova a trovare una base di quello spazio.
Non riesco a lavorarci. Mi incarto nel fatto che è uno spazio di polinomi sia in dominio e codominio.
Se ad esempio prendo $B={x^2,x,1}$ base cosa succede?
proprio non riesco ad andare avanti!
Se ad esempio prendo $B={x^2,x,1}$ base cosa succede?
proprio non riesco ad andare avanti!
I coefficienti relativi a quei monomi sono le coordinate.
Quindi avrò una matrice fatta cosi $((a_0, 0, 0), (0, a_1-2a_2, 0), (0, 0,-a_2+a_1)) $ ?
giusto? E adesso dovrei semplicemente calcolare l 'inversa?
Comunque ti ringrazio per le risposte !
giusto? E adesso dovrei semplicemente calcolare l 'inversa?
Comunque ti ringrazio per le risposte !
No. La matrice è $ ((0, 1, -1), (0, 1, -2), (1, 0,0))$. Dove la base è ordinata per grado crescente.
Allora, se stabilisco un'isomorfismo sia in dominio che in codominio così:
$\varphi_1: CC_2[x] \to CC^3$
$x^2 \to e_1$
$x \to e_2$
$ 1 \to e_3$
$\varphi_2 : CC_2[x] \to CC^3$
$x^2 \to e_1$
$ x \to e_2 $
$ 1 \to e_3$
Avrò $T: CC^3 \to CC^3$
$a_2 \to (0,-2,-1)$
$a_1 \to (0,1,1)$
$a_0 \to (1,0,0)$
e quindi $((0,0,1),(-2,1,0),(-1,1,0))$ è corretto?
$\varphi_1: CC_2[x] \to CC^3$
$x^2 \to e_1$
$x \to e_2$
$ 1 \to e_3$
$\varphi_2 : CC_2[x] \to CC^3$
$x^2 \to e_1$
$ x \to e_2 $
$ 1 \to e_3$
Avrò $T: CC^3 \to CC^3$
$a_2 \to (0,-2,-1)$
$a_1 \to (0,1,1)$
$a_0 \to (1,0,0)$
e quindi $((0,0,1),(-2,1,0),(-1,1,0))$ è corretto?
Up ! Non c'è qualcuno che mi aiuta? A breve ho un esame (povero me!)
Mi sembra di si, hai ordinato diversamente la base ma è uguale (non esiste un modo giusto o sbagliato).
ed è giusto il prosegiumento?
Calcolo l'inversa cioè
$((1,0,0),(0,-1,2),(0,-1,1))$
quindi $S :CC^3 \to CC^3$
$(1,0,0) \to a_0$
$(0,-1,2) \to a_1$
$(0,-1,1) \to a_2$
e
$S : CC_2[x] \to CC_2[x]$
$ S(a_2x^2+a_1x+a_0) = a_0x^2 + (-a_1-a_2)x+2a_1+a_2$
e quindi $ S ◦ T = T ◦ S $ è l'identità.
E' corretto il procedimento, ed è corretto anche formalmente?
Grazie
Calcolo l'inversa cioè
$((1,0,0),(0,-1,2),(0,-1,1))$
quindi $S :CC^3 \to CC^3$
$(1,0,0) \to a_0$
$(0,-1,2) \to a_1$
$(0,-1,1) \to a_2$
e
$S : CC_2[x] \to CC_2[x]$
$ S(a_2x^2+a_1x+a_0) = a_0x^2 + (-a_1-a_2)x+2a_1+a_2$
e quindi $ S ◦ T = T ◦ S $ è l'identità.
E' corretto il procedimento, ed è corretto anche formalmente?
Grazie
Nessuno sà se è corretto?
Formalmente no. Ci sono alcune tue scritte che non hanno senso.
La scrittura corretta è:
\(\displaystyle 1\mapsto x^2 \)
\(\displaystyle x\mapsto 1+x \)
\(\displaystyle x^2\mapsto -1-2x \)
Quello ti determina le colonne della matrice.
La scrittura corretta è:
\(\displaystyle 1\mapsto x^2 \)
\(\displaystyle x\mapsto 1+x \)
\(\displaystyle x^2\mapsto -1-2x \)
Quello ti determina le colonne della matrice.
Scusami se sono insistente, ma non riesco a capire.
Come fai ad avere quela scrittura?
Non devo leggere l'isomorfismo ''all'indietro'' per passare dallo s.v. dei complessi a quello dei polinomi? I coefficienti $a_0,a_1,a_2$ che fine fanno?
Ti sarei grato se mi mostrassi il procedimento più dettagliatamente, in ogni caso grazie per la pazienza!
Come fai ad avere quela scrittura?
Non devo leggere l'isomorfismo ''all'indietro'' per passare dallo s.v. dei complessi a quello dei polinomi? I coefficienti $a_0,a_1,a_2$ che fine fanno?
Ti sarei grato se mi mostrassi il procedimento più dettagliatamente, in ogni caso grazie per la pazienza!
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