Discussione di un'applicazione lineare
Devo risolvere questo esercizio:
Data questa applicazione lineare associata da R4 -> R3:
$( (k,2k-1,2-k,1),
(2,4+k,-2k-2,-k),
(-1,-4,5,2))$
Trovare per quanti valori di k il vettore v (-k,2,3) appartiene all'immagine di f.
Io ho calcolato per quali valori di k il rango di questa matrice viene uguale a 2 (ovvero 2=dim Im f)
cioè $k=4$ e $k=-1/2$
Poi ho verificato che il vettore v sia combinazione lineare di due dei vettori di partenza calcolando il determinante della seguente matrice e ponendolo = 0
$((k,1,-k),(2,-k,2),(-1,2,3))$
il problema è che la soluzione dell'esercizio è "per un solo valore di k", ma a me torna "per nessun valore di k"
qualche idea?
Data questa applicazione lineare associata da R4 -> R3:
$( (k,2k-1,2-k,1),
(2,4+k,-2k-2,-k),
(-1,-4,5,2))$
Trovare per quanti valori di k il vettore v (-k,2,3) appartiene all'immagine di f.
Io ho calcolato per quali valori di k il rango di questa matrice viene uguale a 2 (ovvero 2=dim Im f)
cioè $k=4$ e $k=-1/2$
Poi ho verificato che il vettore v sia combinazione lineare di due dei vettori di partenza calcolando il determinante della seguente matrice e ponendolo = 0
$((k,1,-k),(2,-k,2),(-1,2,3))$
il problema è che la soluzione dell'esercizio è "per un solo valore di k", ma a me torna "per nessun valore di k"
qualche idea?
Risposte
Scusa ma perchè calcoli i k per i quali il rango è 2?? Il rango massimo che può avere questa matrice è 3!
Quindi dovrei solo vedere se V è combinazione lineare di tre vettori iniziali?
Prima vedi per quali k il rango è massimo(in questo caso 3), poi ovviamente se il rango è 3 $\vec v$ appartiene di sucuro all'immagine, mentre se il rango < 3, devi vedere se $\vec v$ è combinazione lineare dei vettori che hai trovato che fanno parte dell'immagine.
Il rango è 3 per ogni valore di k tranne k=4 e k=-1/2 .
Qunidi secondo te il risultato sarebbe "v appartiene all'immagine infiniti valori di k" ?
Qunidi secondo te il risultato sarebbe "v appartiene all'immagine infiniti valori di k" ?
Ho ridotto la matrice a scala e mi viene così (sperando di non aver sbagliato i calcoli):
$((k,2k-1,2-k,1),(0,k^2+1,-2k^2-4,-k^2-2),(0,0,-6k^2-3k,-4k^2+2k))$
Puoi verificare che la matrice ha rango 2 solo per k=0, quindi il vettore $\vec v$ appartiene all'immagine per ogni k, tranne che per k=0.
Ti invito comunque a ricontrollare che sia tutto giusto!
$((k,2k-1,2-k,1),(0,k^2+1,-2k^2-4,-k^2-2),(0,0,-6k^2-3k,-4k^2+2k))$
Puoi verificare che la matrice ha rango 2 solo per k=0, quindi il vettore $\vec v$ appartiene all'immagine per ogni k, tranne che per k=0.
Ti invito comunque a ricontrollare che sia tutto giusto!
Alla fine mi è tornata.
Ho ridotto a scala e mi è venuta fuori questa matrice:
$((-1,-4,5,2), (0,k-4,-2k+8,-k+2), (0,0,0,0))$
la matrice ha rango 1 per $k=4$ e quindi in questo caso $v$ non appartiene all'immagine.
Ha rango 2 per tutti gli altri valori di $k$
quindi ho messo a matrice due vettori iniziali con il vettore $v$ e ho posto il determinante = 0
$((k,2,-1),(1,-k,2),(-k,2,3))$
il determinante viene $k^2+4k+4$
lo pongo = 0 e torna $k=-2$
Soluzione: $v$ appartiene all'immagine di f per un solo valore di $k$
Grazie dell'aiuto
Ho ridotto a scala e mi è venuta fuori questa matrice:
$((-1,-4,5,2), (0,k-4,-2k+8,-k+2), (0,0,0,0))$
la matrice ha rango 1 per $k=4$ e quindi in questo caso $v$ non appartiene all'immagine.
Ha rango 2 per tutti gli altri valori di $k$
quindi ho messo a matrice due vettori iniziali con il vettore $v$ e ho posto il determinante = 0
$((k,2,-1),(1,-k,2),(-k,2,3))$
il determinante viene $k^2+4k+4$
lo pongo = 0 e torna $k=-2$
Soluzione: $v$ appartiene all'immagine di f per un solo valore di $k$
Grazie dell'aiuto
Si, ho sbagliato i calcoli !! cvd. L'importante e che hai capito!
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