Dimostrazioni duale e biduale
Salve a tutti! Volevo chiedere informazioni su due dimostrazioni (tenete conto che il livello è quello di un corso di Algebra Lineare di una matricola) riguardanti lo spazio duale e il doppio duale.
La prima è la seguente: dimostrare che $V$ s.v su $K$ campo è isomorfo a $V^°$ (il suo duale).
Naturalmente ci sono due dimostrazioni: una tramite le basi e quindi definendo un isomorfismo esplicito (che non sto qui a riproporre) e la seguente:
Definiamo $\varphi_vec v in V^°$ come $\varphi_vec v(vec w)=$ con $<,:,>$ prodotto scalare su $V$ non degenere. (con $vec v in V$ e $ vec w in V$)
Sia ora $\psi: V rarr V^°$ l'applicazione tale che $vec v rarr \varphi_vec v$. Bisogna dimostrare che $\psi$ è lineare (se non ho fatto errori dovrebbe esserlo) e che $\psi$ stabilisce un isomorfismo tra $V$ e il suo duale $V^°$.
Per fare ciò dobbiamo dimostrare che sia iniettiva. Il nucleo risulta essere
${vec v in V|\psi(vec v)=0 rArr \varphi_vec v (w)= =0 AA vec w in V}={vec 0} $
dato che il prodotto scalare è non degenere. Quindi $\psi $è iniettiva. Ora si potrebbe concludere il tutto dicendo che, data la dimostrazione con le basi, $dimV=dimV^°$, e dato che il nucleo è banale, per il teorema della dimensione $dim(Im)=dim(V^°)$ quindi è anche suriettiva, invertibile e quindi $\psi$ è un isomorfismo naturale (cioè senza dover fissare una base) tra $V$ e il suo duale $V^°$.
Il punto è questo: io giungo a questa conclusione facendo uso di un risultato che ho ottenuto fissando una base: è corretto affermare comunque che $\psi$ è un isomorfismo naturale? Inoltre mi chiedevo se fosse possibile dimostrare la suriettività per altre vie (che personalmente non mi sono venute in mente).
Seconda questione: sia sempre $V$ spazio vettoriale su $K$ e stavolta consideriamo $V^(°°)$ il suo doppio duale (cioè il duale del duale). Devo dimostrare anche qui che data $\Omega: V rarr V^(°°)$ applicazione tale che $vec v rarr \phi_vec v$ (con $\phi_vec v in V^(°°)$) allora $\Omega$ risulta essere un isomorfismo tra $V$ e $V^(°°)$. Differentemente da prima però sappiamo solo che $\phi_vec v in V^(°°)$ ma non sappiamo "come è fatto".
La mia idea è stata quella di pensare (analogamente a sopra) a $\phi_vec v: V^° rarr K$ tale che $\delta_vec v rarr$ con $<,:,>$ prodotto scalare su $V$ non degenere, $\delta_vec v in V^°$, $vec v in V$ e $vec w in V$.
Ora: bisogna dimostrare innanzitutto che $\Omega$ sia lineare (non dovrebbero esserci problemi) e che sia invertibile affinchè risulti essere un isomorfismo.
Procedendo come prima considero il nucleo:
${vec v in V| \Omega(vec v)=0 rArr \phi_vec v=0 rArr \delta_vec v(vec w)=0 rArr =0 AA vec w in V}$
e dato che il prod. scalare è non degenere il nucleo è banale quindi $\Omega$ è iniettiva. Ora, considerando il risultato precedente, sappiamo che il duale di uno spazio vettoriale ha la stessa dimensione dello spazio vettoriale. Dato che il duale è esso stesso uno spazio vettoriale, il suo duale ha la stessa dimensione del duale dello spazio vettoriale. Quindi $dimV^°=dimV^(°°)$. E' giusta questa conclusione? Se è giusta quindi mi ritrovo nel caso precedente e posso concludere che $\Omega$ così definito risulta essere un isomorfismo tra $V$ e $V^(°°)$ che è quello che volevo dimostrare.
Volevo chiedere se i ragionamenti logici sono esatti (ne ho saltati alcuni come la dim. della linearità per non allungare il messaggio ma mi dovrebbero tornare, o magari sono proprio lì gli errori, non saprei) o se non vi torna qualcosa/ ho scritto delle castronerie e nel caso accetto critiche e correzioni!
Grazie comunque se siete arrivati a leggere fino a qui questa lunga pappardella!
La prima è la seguente: dimostrare che $V$ s.v su $K$ campo è isomorfo a $V^°$ (il suo duale).
Naturalmente ci sono due dimostrazioni: una tramite le basi e quindi definendo un isomorfismo esplicito (che non sto qui a riproporre) e la seguente:
Definiamo $\varphi_vec v in V^°$ come $\varphi_vec v(vec w)=
Sia ora $\psi: V rarr V^°$ l'applicazione tale che $vec v rarr \varphi_vec v$. Bisogna dimostrare che $\psi$ è lineare (se non ho fatto errori dovrebbe esserlo) e che $\psi$ stabilisce un isomorfismo tra $V$ e il suo duale $V^°$.
Per fare ciò dobbiamo dimostrare che sia iniettiva. Il nucleo risulta essere
${vec v in V|\psi(vec v)=0 rArr \varphi_vec v (w)=
dato che il prodotto scalare è non degenere. Quindi $\psi $è iniettiva. Ora si potrebbe concludere il tutto dicendo che, data la dimostrazione con le basi, $dimV=dimV^°$, e dato che il nucleo è banale, per il teorema della dimensione $dim(Im)=dim(V^°)$ quindi è anche suriettiva, invertibile e quindi $\psi$ è un isomorfismo naturale (cioè senza dover fissare una base) tra $V$ e il suo duale $V^°$.
Il punto è questo: io giungo a questa conclusione facendo uso di un risultato che ho ottenuto fissando una base: è corretto affermare comunque che $\psi$ è un isomorfismo naturale? Inoltre mi chiedevo se fosse possibile dimostrare la suriettività per altre vie (che personalmente non mi sono venute in mente).
Seconda questione: sia sempre $V$ spazio vettoriale su $K$ e stavolta consideriamo $V^(°°)$ il suo doppio duale (cioè il duale del duale). Devo dimostrare anche qui che data $\Omega: V rarr V^(°°)$ applicazione tale che $vec v rarr \phi_vec v$ (con $\phi_vec v in V^(°°)$) allora $\Omega$ risulta essere un isomorfismo tra $V$ e $V^(°°)$. Differentemente da prima però sappiamo solo che $\phi_vec v in V^(°°)$ ma non sappiamo "come è fatto".
La mia idea è stata quella di pensare (analogamente a sopra) a $\phi_vec v: V^° rarr K$ tale che $\delta_vec v rarr
Ora: bisogna dimostrare innanzitutto che $\Omega$ sia lineare (non dovrebbero esserci problemi) e che sia invertibile affinchè risulti essere un isomorfismo.
Procedendo come prima considero il nucleo:
${vec v in V| \Omega(vec v)=0 rArr \phi_vec v=0 rArr \delta_vec v(vec w)=0 rArr
e dato che il prod. scalare è non degenere il nucleo è banale quindi $\Omega$ è iniettiva. Ora, considerando il risultato precedente, sappiamo che il duale di uno spazio vettoriale ha la stessa dimensione dello spazio vettoriale. Dato che il duale è esso stesso uno spazio vettoriale, il suo duale ha la stessa dimensione del duale dello spazio vettoriale. Quindi $dimV^°=dimV^(°°)$. E' giusta questa conclusione? Se è giusta quindi mi ritrovo nel caso precedente e posso concludere che $\Omega$ così definito risulta essere un isomorfismo tra $V$ e $V^(°°)$ che è quello che volevo dimostrare.
Volevo chiedere se i ragionamenti logici sono esatti (ne ho saltati alcuni come la dim. della linearità per non allungare il messaggio ma mi dovrebbero tornare, o magari sono proprio lì gli errori, non saprei) o se non vi torna qualcosa/ ho scritto delle castronerie e nel caso accetto critiche e correzioni!
Grazie comunque se siete arrivati a leggere fino a qui questa lunga pappardella!
Risposte
Ciao,
questa parte non torna, non riesco a capire come esattamente stai definendo $\phi_vec v$. Tu prendi un elemento del duale, $\delta_vec v$ (che in realtà deve essere generico e quindi è sbagliato mettergli il pedice di $vec v$), e lo mandi in $$. In che modo $$ dipende da $\delta_vec v$? Chi è $vec w$? Quindi non è giusto.
Il modo giusto e canonico consiste nel prendere [tex]\delta \in V^*[/tex] e associargli in $\delta(vec v)$, ovvero $\phi_vec v (\delta)=\delta(vec v)$. Morale del ragionamento: siccome $\delta$ è nel duale, e noi abbiamo bisogno di uno scalare, gli diamo l'unico vettore che c'è in giro cioè $vec v$ per ottenere l'elemento in $K$.
Il modo di procedere è quindi di mostrare che $V$ e [tex]V^*[/tex] sono isomorfi (con le basi), per concludere quindi che ogni spazio vettoriale ha la stessa dimensione del duale e quindi di ogni duale successivo. Quindi è sufficiente vedere che $\phi_vec v$ è iniettiva e usare il th. della dimensione.
Fai caso che in questo modo stai mostrando che $V$ è canonicamente isomorfo a [tex]V^{* *}[/tex], cioè che la mappa non necessita della scelta di una base. Se volessi limitarti a dimostrare che è solo isomorfo, allora è sufficiente dire che ogni spazio è isomorfo al duale quindi [tex]V \cong V^* \cong V^{**}[/tex] e per transitività [tex]V \cong V^{**}.[/tex]
"cande95":
La mia idea è stata quella di pensare (analogamente a sopra) a $\phi_vec v: V^° rarr K$ tale che $\delta_vec v rarr$ con $<,:,>$ prodotto scalare su $V$ non degenere, $\delta_vec v in V^°$, $vec v in V$ e $vec w in V$.
questa parte non torna, non riesco a capire come esattamente stai definendo $\phi_vec v$. Tu prendi un elemento del duale, $\delta_vec v$ (che in realtà deve essere generico e quindi è sbagliato mettergli il pedice di $vec v$), e lo mandi in $
Il modo giusto e canonico consiste nel prendere [tex]\delta \in V^*[/tex] e associargli in $\delta(vec v)$, ovvero $\phi_vec v (\delta)=\delta(vec v)$. Morale del ragionamento: siccome $\delta$ è nel duale, e noi abbiamo bisogno di uno scalare, gli diamo l'unico vettore che c'è in giro cioè $vec v$ per ottenere l'elemento in $K$.
Il modo di procedere è quindi di mostrare che $V$ e [tex]V^*[/tex] sono isomorfi (con le basi), per concludere quindi che ogni spazio vettoriale ha la stessa dimensione del duale e quindi di ogni duale successivo. Quindi è sufficiente vedere che $\phi_vec v$ è iniettiva e usare il th. della dimensione.
Fai caso che in questo modo stai mostrando che $V$ è canonicamente isomorfo a [tex]V^{* *}[/tex], cioè che la mappa non necessita della scelta di una base. Se volessi limitarti a dimostrare che è solo isomorfo, allora è sufficiente dire che ogni spazio è isomorfo al duale quindi [tex]V \cong V^* \cong V^{**}[/tex] e per transitività [tex]V \cong V^{**}.[/tex]
"cande95":No, la tua dimostrazione dipende comunque dalla scelta di un prodotto scalare.
Il punto è questo: io giungo a questa conclusione facendo uso di un risultato che ho ottenuto fissando una base: è corretto affermare comunque che $\psi$ è un isomorfismo naturale?
"cande95":Dovrei pensarci, ma dubito ne esista una troppo "pulita", la suriettività è un risultato che dipende in maniera imprescindibile dal fatto che consideriamo spazi vettoriali a dimensione finita (e quindi dall'esistenza di una base finita). Nel caso di spazi vettoriali generici (dimensione qualunque) la suriettività non è garantita.
Inoltre mi chiedevo se fosse possibile dimostrare la suriettività per altre vie.
"cande95":Se non ho capito male, \(\delta_{\vec{v}}\) è il vettore associato a \(\vec{v}\) una volta fissato un isomorfismo tra \(V\) ed il suo duale, giusto? (Dovresti specificarlo.) Se è così ad una occhiata non troppo attenta mi sembra che torni tutto, ma concordo con Steven, questo dimostra solo che \(V^{\vee \vee} \cong V\), risultato che segue direttamente dalla tua dimostrazione precedente. Non basta per dimostrare che l'isomorfismo è naturale (anche qui, devi fissare un prodotto scalare). Solitamente per i due isomorfismi si danno dimostrazioni diverse perché il primo non è naturale, il secondo sì.
La mia idea è stata quella di pensare (analogamente a sopra) a $\phi_vec v: V^° rarr K$ tale che $\delta_vec v rarr$ con $<,:,>$ prodotto scalare su $V$ non degenere, $\delta_vec v in V^°$, $vec v in V$ e $vec w in V$.
Ok quindi definendo in un modo diverso e corretto l'elemento del duale $V^°$ (cioè ridefinendo \( \delta \in V^* \)) come descritto da Steven, $\Omega$ dovrebbe risultare iniettiva senza fare uso di prodotti scalari giusto? Perché a questo punto il nucleo di $\Omega$ risulta essere:
$ Ker(Omega )={vec v in V| Omega(vec v)=0 rArr phi_vec v=0 rArrdelta (vec v)=0 AA deltainV^°}={vec0} $ ?
$ Ker(Omega )={vec v in V| Omega(vec v)=0 rArr phi_vec v=0 rArrdelta (vec v)=0 AA deltainV^°}={vec0} $ ?
Scusa, ma non capisco la domanda.
"Epimenide93":
Scusa, ma non capisco la domanda.
Seguendo il consiglio di Steven e quindi ridefinendo l'elemento del biduale come sopra non ho più bisogno di definirlo con un prodotto scalare come avevo fatto invece nel post iniziale, giusto? Sempre seguendo il suggerimento di Steven il nucleo di $\Omega$ ridefinita è quello che ho scritto sopra?
Per alleggerire la terminologia, chiamerò vettori gli elementi dello spazio e covettori i vettori del duale. Il morfismo iniettivo canonico tra uno spazio ed il suo biduale associa ad ogni vettore \(v\) l'applicazione lineare che mappa ogni covettore nella sua valutazione in \(v\). Ovvero
\[
\begin{split}
V \longrightarrow &V^{\vee \vee} \\
v \longmapsto &\varphi_v : &V^{\vee} \longrightarrow k \\
& & \delta \longmapsto \delta(v)
\end{split}
\]
la verifica che sia iniettivo è immediata.
\[
\begin{split}
V \longrightarrow &V^{\vee \vee} \\
v \longmapsto &\varphi_v : &V^{\vee} \longrightarrow k \\
& & \delta \longmapsto \delta(v)
\end{split}
\]
la verifica che sia iniettivo è immediata.
"cande95":
Ok quindi definendo in un modo diverso e corretto l'elemento del duale $V^°$ (cioè ridefinendo \( \delta \in V^* \)) come descritto da Steven, $\Omega$ dovrebbe risultare iniettiva senza fare uso di prodotti scalari giusto? Perché a questo punto il nucleo di $\Omega$ risulta essere:
$ Ker(Omega )={vec v in V| Omega(vec v)=0 rArr phi_vec v=0 rArrdelta (vec v)=0 AA deltainV^°}={vec0} $ ?
Tutto giusto.
Ok, grazie mille della pazienza 
Avrei un'altra questione (un po' più complessa forse): dato $V$ s.v. di dimensione finita uguale ad $n$ su un campo $K$ fissato, devo definire un isomorfismo (senza fissare una base)
\( V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \)
con \(B(V)\) s.v delle applicazioni Bilineari \( g:V\times V \rightarrow K \).
Ho pensato di procedere in questo modo: prima di tutto definisco $psi$ come:
\( \psi : V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \varphi \otimes \phi
\longmapsto \,\,b \,\,\,\,: V\times V \rightarrow K \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\vec{v},\vec{w})\longmapsto \varphi(\vec{v})\phi(\vec{w}) \)
con \( \varphi \in V^*, \phi \in V^* \) e $vec v in V$, $vec w in V$.
Prima di tutto bisognerebbe dimostrare che $\psi$ è lineare, e se non ho fatto errori dovrebbe esserlo.
In secondo luogo sappiamo che \( dimV^*\otimes V^*= n^2 \) e che \( dim B(V)=n^2 \) . Quindi è sufficiente dimostrare che $\psi$ è iniettiva.
Considero quindi il nucleo:
$ ker(\psi)={\varphi ox \phi in V^** oxV^** | \psi(\varphi ox \phi)= 0 iff b=0 iff \varphi(vecv )\phi(vec w)=0 AA vec v, vec w in V iff (o \varphi=0 o \phi=0)}={vec 0} $
il che conclude la definizione/dimostrazione dell'isomorfismo senza aver fissato alcuna base.
Volevo chiedervi, come prima, se funziona come ragionamento o se sbaglio anche qui a definire $\psi$ (il che è altamente probabile).
PS: Chiedo scusa anche per la mia scarsa dimestichezza con le formule, spero si capisca!
Avrei un'altra questione (un po' più complessa forse): dato $V$ s.v. di dimensione finita uguale ad $n$ su un campo $K$ fissato, devo definire un isomorfismo (senza fissare una base)
\( V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \)
con \(B(V)\) s.v delle applicazioni Bilineari \( g:V\times V \rightarrow K \).
Ho pensato di procedere in questo modo: prima di tutto definisco $psi$ come:
\( \psi : V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \varphi \otimes \phi
\longmapsto \,\,b \,\,\,\,: V\times V \rightarrow K \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\vec{v},\vec{w})\longmapsto \varphi(\vec{v})\phi(\vec{w}) \)
con \( \varphi \in V^*, \phi \in V^* \) e $vec v in V$, $vec w in V$.
Prima di tutto bisognerebbe dimostrare che $\psi$ è lineare, e se non ho fatto errori dovrebbe esserlo.
In secondo luogo sappiamo che \( dimV^*\otimes V^*= n^2 \) e che \( dim B(V)=n^2 \) . Quindi è sufficiente dimostrare che $\psi$ è iniettiva.
Considero quindi il nucleo:
$ ker(\psi)={\varphi ox \phi in V^** oxV^** | \psi(\varphi ox \phi)= 0 iff b=0 iff \varphi(vecv )\phi(vec w)=0 AA vec v, vec w in V iff (o \varphi=0 o \phi=0)}={vec 0} $
il che conclude la definizione/dimostrazione dell'isomorfismo senza aver fissato alcuna base.
Volevo chiedervi, come prima, se funziona come ragionamento o se sbaglio anche qui a definire $\psi$ (il che è altamente probabile).
PS: Chiedo scusa anche per la mia scarsa dimestichezza con le formule, spero si capisca!
La mappa va bene. La linearita' come l'hai fatta? A essere pignoli, visto che il prodotto tensoriale e' un quoziente di $V \times W$, dovresti vedere che la mappa e' ben definita (a mano o con la proprieta' universale).
"Steven":
La mappa va bene. La linearita' come l'hai fatta? A essere pignoli, visto che il prodotto tensoriale e' un quoziente di $ V \times W $, dovresti vedere che la mappa e' ben definita (a mano o con la proprieta' universale).
Ecco io di Spazio Quozienti non so nulla in quanto il corso di Algebra Lineare che ho seguito non ne trattava anche se è stato nominato una volta sola.
Per "a mano" intendi attraverso l'uso della definizione di app. lineare, cioè una applicazione tale per cui:
\( F(\vec v_1+\vec v_2)=F(\vec v_1)+F(\vec v_2) \\ F(\lambda \vec v)=\lambda F(\vec v) \)
?
Intendevo un'altra cosa, ma avrei bisogno di sapere come ti hanno definito il prodotto tensoriale
E' stato l'ultimo argomento che abbiamo trattato ed è un argomento un po' extra quindi l'ha introdotto molto velocemente sia attraverso una combinazione lineare "formale" di elementi del tipo \( \sum {x_{i,j} \vec v_i \otimes \vec w_j} \) (In pratica è uno Spazio vettoriale generato dall' insieme dei simboli $ {vec v_1 ox vec v_1,vec v_1 ox vec v_2,...,vec v_n ox vec v_n} $ } sia attraverso la proprietà Universale del prodotto tensoriale!
Sinceramente però non ho ben capito perché lo abbia introdotto in due modi diversi assai differenti tra di loro..
Sinceramente però non ho ben capito perché lo abbia introdotto in due modi diversi assai differenti tra di loro..
Se non avete trattato il prodotto tensoriale approfonditamente forse la questione ti risultera' sottile. Punto e' il seguente: tu stai definendo l'applicazione sugli elementi $\varphi \otimes phi$, detti tensori elementari. La linearita' la controlli facendo vedere che
$\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2)=\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1)+\psi(\varphi_2 \otimes \phi_2)$.
Il fatto e' che tu non hai un'espressione per il primo membro, perche' l'elemento $\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2$ non e' elementare, ovvero nella forma $\varphi \otimes phi$. Con gli strumenti che hai, penso te la puoi cavare ad esempio usando la proprieta' universale: dara un'applicazione lineare \( \psi : V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \) equivale a dare un'applicazione bilineare \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \), proprio perche' la proprieta' universale lega l'esistenza di una all'altra in modo unico.
Quindi se dimostri che \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \) e' bilineare, ed e' facile, hai automaticamente che $\psi$ e' lineare ed ovviamente ben definita.
Altrimenti con forza bruta, se vuoi definire \( V^\ast\otimes V^\ast \) come lo spazio generato dai tensori elementari \( v \otimes w \) con le regole di bilinearita' di cui godono, ad esempio \( (v+v_1 \otimes w = v \otimes w + v_1 \otimes w \), definisci la mappa $\psi$ sui generatori, e poi la estendi a tutto lo spazio per linearita', e a questo punto e' lineare per definizione. Magari devi solo far vedere che definire la mappa sui generatori non ti crea problemi, ad esempio verificando che \( \psi((v+v_1 \otimes w) = \psi(v \otimes w) + \psi(v_1 \otimes w) \), poi e' ok.
Spero ti sia chiaro. Sono cose che magari ti torneranno piu' chiare nel momento in cui ti spiegheranno per bene i tensori
Fammi sapere! Ciao.
$\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2)=\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1)+\psi(\varphi_2 \otimes \phi_2)$.
Il fatto e' che tu non hai un'espressione per il primo membro, perche' l'elemento $\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2$ non e' elementare, ovvero nella forma $\varphi \otimes phi$. Con gli strumenti che hai, penso te la puoi cavare ad esempio usando la proprieta' universale: dara un'applicazione lineare \( \psi : V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \) equivale a dare un'applicazione bilineare \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \), proprio perche' la proprieta' universale lega l'esistenza di una all'altra in modo unico.
Quindi se dimostri che \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \) e' bilineare, ed e' facile, hai automaticamente che $\psi$ e' lineare ed ovviamente ben definita.
Altrimenti con forza bruta, se vuoi definire \( V^\ast\otimes V^\ast \) come lo spazio generato dai tensori elementari \( v \otimes w \) con le regole di bilinearita' di cui godono, ad esempio \( (v+v_1 \otimes w = v \otimes w + v_1 \otimes w \), definisci la mappa $\psi$ sui generatori, e poi la estendi a tutto lo spazio per linearita', e a questo punto e' lineare per definizione. Magari devi solo far vedere che definire la mappa sui generatori non ti crea problemi, ad esempio verificando che \( \psi((v+v_1 \otimes w) = \psi(v \otimes w) + \psi(v_1 \otimes w) \), poi e' ok.
Spero ti sia chiaro. Sono cose che magari ti torneranno piu' chiare nel momento in cui ti spiegheranno per bene i tensori
Fammi sapere! Ciao.
Scusami il ritardo nella risposta ma in questi ultimi giorni sono stato impegnato proprio nell'esame di Algebra Lineare che ho felicemente passato
Penso proprio che per il mio corso vada bene attraverso la proprietà universale, anche perché la ""manipolazione"" dei tensori così come hai fatto tu la prof non ce l'ha mai mostrata, anche se guardando alcune dispense avevo visto alcune proprietà bilinerari dei tensori che tuttavia non potevo usare!
Eh chissà quando mi rispiegheranno i tensori, magari in Metodi Matematici? (Tieni conto che studiando fisica da quello che ho capito sia qui sul forum che all'università i tensori vengono spiegati sempre in modo "diverso") Però sto cercando da autodidatta di studiarmi un po' di algebra dal MacLane Birkhoof che mi avevano consigliato qui sul Forum dove ci sono anche alcuni capitoli su Multilinearità e Tensori (sperando di arrivarci a quei capitoli dato che prima ci sono circa 250 pagine)!
"Steven":
Se non avete trattato il prodotto tensoriale approfonditamente forse la questione ti risultera' sottile. Punto e' il seguente: tu stai definendo l'applicazione sugli elementi $\varphi \otimes phi$, detti tensori elementari. La linearita' la controlli facendo vedere che
$\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2)=\psi(\varphi_1 \otimes \phi_1)+\psi(\varphi_2 \otimes \phi_2)$.
Il fatto e' che tu non hai un'espressione per il primo membro, perche' l'elemento $\varphi_1 \otimes \phi_1+\varphi_2 \otimes \phi_2$ non e' elementare, ovvero nella forma $\varphi \otimes phi$. Con gli strumenti che hai, penso te la puoi cavare ad esempio usando la proprieta' universale: dara un'applicazione lineare \( \psi : V^\ast\otimes V^\ast \rightarrow B(V) \) equivale a dare un'applicazione bilineare \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \), proprio perche' la proprieta' universale lega l'esistenza di una all'altra in modo unico.
Quindi se dimostri che \( f : V^\ast \times V^\ast \rightarrow B(V) \) e' bilineare, ed e' facile, hai automaticamente che $\psi$ e' lineare ed ovviamente ben definita.
Altrimenti con forza bruta, se vuoi definire \( V^\ast\otimes V^\ast \) come lo spazio generato dai tensori elementari \( v \otimes w \) con le regole di bilinearita' di cui godono, ad esempio \( (v+v_1 \otimes w = v \otimes w + v_1 \otimes w \), definisci la mappa $\psi$ sui generatori, e poi la estendi a tutto lo spazio per linearita', e a questo punto e' lineare per definizione. Magari devi solo far vedere che definire la mappa sui generatori non ti crea problemi, ad esempio verificando che \( \psi((v+v_1 \otimes w) = \psi(v \otimes w) + \psi(v_1 \otimes w) \), poi e' ok.
Penso proprio che per il mio corso vada bene attraverso la proprietà universale, anche perché la ""manipolazione"" dei tensori così come hai fatto tu la prof non ce l'ha mai mostrata, anche se guardando alcune dispense avevo visto alcune proprietà bilinerari dei tensori che tuttavia non potevo usare!
"Steven":
Spero ti sia chiaro. Sono cose che magari ti torneranno piu' chiare nel momento in cui ti spiegheranno per bene i tensori
Fammi sapere! Ciao.
Eh chissà quando mi rispiegheranno i tensori, magari in Metodi Matematici? (Tieni conto che studiando fisica da quello che ho capito sia qui sul forum che all'università i tensori vengono spiegati sempre in modo "diverso") Però sto cercando da autodidatta di studiarmi un po' di algebra dal MacLane Birkhoof che mi avevano consigliato qui sul Forum dove ci sono anche alcuni capitoli su Multilinearità e Tensori (sperando di arrivarci a quei capitoli dato che prima ci sono circa 250 pagine)!
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