Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto ad una base data.
Salve, martedì ho l'esame di Algebra e sono in crisi con questo tipo di esercizio.
Sia f l’endomorfismo di R^3 la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica e:
A: 3 1 −3
3 −1 −3
1 1 −1
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base di R^3 formata dai vettori (2, 1, 1), (1, 0, 1), (1, −1, 1).
Ora il mio problema è questo. Finché ho per esempio un equazione lineare non ho problemi nel fare il cambiamento di base. Ma data una questa matrice non ho idea di come procedere.
PS: mi scuso se non uso i caratteri ma è il mio primo post e non riesco proprio a capire come fare
Sia f l’endomorfismo di R^3 la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica e:
A: 3 1 −3
3 −1 −3
1 1 −1
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base di R^3 formata dai vettori (2, 1, 1), (1, 0, 1), (1, −1, 1).
Ora il mio problema è questo. Finché ho per esempio un equazione lineare non ho problemi nel fare il cambiamento di base. Ma data una questa matrice non ho idea di come procedere.
PS: mi scuso se non uso i caratteri ma è il mio primo post e non riesco proprio a capire come fare
Risposte
Allora in questo caso vengono facili anche i conti, comunque il "trucco" è questo.
Devi sempre fare attenzione rispetto a quali basi ti viene data la matrice che rappresenta un endomorfismo. In questo caso ti dicono che è riferito alla base canonica. Che vuol dire?
Significa semplicemente che le coordinate dei vettori di partenza sono riferite alla base canonica, così come quelle dei vettori di arrivo.
Ti viene chiesto di trovare la matrice associata alla base $\beta = \{ (2;1;1), (1;0;1), (1;-1;1) \}$ allora cosa devi fare? Devi calcolare le immagini attraverso $f$ dei vettori della base, ed esprimere queste ultime come combinazione lineare dei vettori della base $\beta$:
$f(2;1;1) = ( 4;2;2 ) = 2(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;0;1) = ( 0;0;0 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;-1;1) = ( -1;1;-1 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + -1(1;-1;1)$
Allora la matrice che ti serve è:
\(\displaystyle \begin{matrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{matrix} \)
Che in particolare è una matrice riferita ad una base di autovettori. In ogni caso, per farti capire il concetto, prova adesso ad esprimere i vettori "di partenza" riferendoti alla base $\beta$. Per esempio, il vettore $(2;1;1)$ espresso in coordinate di $\beta$ è $(1;0;0)$ e se fai l'immagine di quest'ultimo (USANDO LA NUOVA MATRICE) ottieni $(2;0;0)$ che sono le coordinate rispetto alla base $\beta$ dell'immagine di $(1;0;0)$ rispetto alla base $\beta$.
Devi sempre fare attenzione rispetto a quali basi ti viene data la matrice che rappresenta un endomorfismo. In questo caso ti dicono che è riferito alla base canonica. Che vuol dire?
Significa semplicemente che le coordinate dei vettori di partenza sono riferite alla base canonica, così come quelle dei vettori di arrivo.
Ti viene chiesto di trovare la matrice associata alla base $\beta = \{ (2;1;1), (1;0;1), (1;-1;1) \}$ allora cosa devi fare? Devi calcolare le immagini attraverso $f$ dei vettori della base, ed esprimere queste ultime come combinazione lineare dei vettori della base $\beta$:
$f(2;1;1) = ( 4;2;2 ) = 2(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;0;1) = ( 0;0;0 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;-1;1) = ( -1;1;-1 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + -1(1;-1;1)$
Allora la matrice che ti serve è:
\(\displaystyle \begin{matrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{matrix} \)
Che in particolare è una matrice riferita ad una base di autovettori. In ogni caso, per farti capire il concetto, prova adesso ad esprimere i vettori "di partenza" riferendoti alla base $\beta$. Per esempio, il vettore $(2;1;1)$ espresso in coordinate di $\beta$ è $(1;0;0)$ e se fai l'immagine di quest'ultimo (USANDO LA NUOVA MATRICE) ottieni $(2;0;0)$ che sono le coordinate rispetto alla base $\beta$ dell'immagine di $(1;0;0)$ rispetto alla base $\beta$.
"jJjjJ":
Allora in questo caso vengono facili anche i conti, comunque il "trucco" è questo.
Devi sempre fare attenzione rispetto a quali basi ti viene data la matrice che rappresenta un endomorfismo. In questo caso ti dicono che è riferito alla base canonica. Che vuol dire?
Significa semplicemente che le coordinate dei vettori di partenza sono riferite alla base canonica, così come quelle dei vettori di arrivo.
Ti viene chiesto di trovare la matrice associata alla base $\beta = \{ (2;1;1), (1;0;1), (1;-1;1) \}$ allora cosa devi fare? Devi calcolare le immagini attraverso $f$ dei vettori della base, ed esprimere queste ultime come combinazione lineare dei vettori della base $\beta$:
$f(2;1;1) = ( 4;2;2 ) = 2(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;0;1) = ( 0;0;0 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + 0(1;-1;1)$
$f(1;-1;1) = ( -1;1;-1 ) = 0(2;1;1) + 0(1;0;1) + -1(1;-1;1)$
Allora la matrice che ti serve è:
\(\displaystyle \begin{matrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1\\
\end{matrix} \)
Che in particolare è una matrice riferita ad una base di autovettori. In ogni caso, per farti capire il concetto, prova adesso ad esprimere i vettori "di partenza" riferendoti alla base $\beta$. Per esempio, il vettore $(2;1;1)$ espresso in coordinate di $\beta$ è $(1;0;0)$ e se fai l'immagine di quest'ultimo (USANDO LA NUOVA MATRICE) ottieni $(2;0;0)$ che sono le coordinate rispetto alla base $\beta$ dell'immagine di $(1;0;0)$ rispetto alla base $\beta$.
I passaggi delle ultime 4 righe mi sono chiari.. quello che non mi è chiaro è ovviamente quello che mi serve ovvero l'inverso -.-
Come ottengo il vettore (4,2,2) ad esempio? Devo fare l'immagine di (2,2,1) usando la matrice A giusto? Però per esempio se prendo il vettore (3,3,1) di tale matrice, come può venire 4?
Beh, se $A$ è la matrice che rappresenta $f$ allora si scrive:
$L_A : R^3 \rightarrow R^3$ l'applicazione lineare associata ad $A$ e che associa per ogni $X \in R^3$ il vettore $AX$ , quest'ultimo si ottiene svolgendo il prodotto righe per colonne di $A$ per $X$ Per il prodotto righe per colonne guarda su wikipedia, comunque:
$L_A ( 2, 1, 1) = ( 3*2 + 1*1 -3*1; 3*2 -1*1 -3*1; 1*2 + 1*1 -1*1) = ( 4; 2; 2)$
$L_A : R^3 \rightarrow R^3$ l'applicazione lineare associata ad $A$ e che associa per ogni $X \in R^3$ il vettore $AX$ , quest'ultimo si ottiene svolgendo il prodotto righe per colonne di $A$ per $X$ Per il prodotto righe per colonne guarda su wikipedia, comunque:
$L_A ( 2, 1, 1) = ( 3*2 + 1*1 -3*1; 3*2 -1*1 -3*1; 1*2 + 1*1 -1*1) = ( 4; 2; 2)$
Ecco questo AX mi sfuggiva!
Grazie mille sei stato illuminante
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